Учебное пособие по курсу «Интеллектуальные системы управления»

1.7. Нечеткая логика 
В сочетании слов «нечеткая» и «логика» есть что-то необычное. Ло-
гика в обычном смысле слова есть представление механизмов мышления, 
то,  что  никогда  не  может  быть  нечетким,  но  всегда  строгим  и  формаль-
ным. Однако математики, исследовавшие эти механизмы мышления, заме-
тили, что в действительности существует не одна логика (например буле-
ва), а столько логик, сколько мы пожелаем, потому что все определяется 
выбором соответствующей системы аксиом. Конечно, как только аксиомы 
выбраны, все утверждения, построенные на их основе, должны быть стро-
го, без противоречий увязаны друг с другом согласно правилам, установ-
ленным в этой системе аксиом.  
Булева логика – это логика, связанная с булевой теорией множеств, 
аналогично, нечеткая логика связана с теорией нечетких множеств. 
В  бинарной  булевой  алгебре  определены  следующие  основные  ло-
гические операции: 
 
b
a
∧
 – 
операция “ И”  
[ ]
[ ]
1
,
0
b
  
,
1
,
0
a
=
=
; 
 
   
(1.7) 

 
35
  
b
a
∨  – операция “ИЛИ”;                                  (1.8) 
  
a
 – операция “ НЕ”;                                       (1.9) 
  
b
a
b
a
b
a
∨
=
⊕
 – операция “исключающее ИЛИ”.          (1.10) 
 
Соотношения (1.8 – 1.10) будут  справедливы  и  для  нечетких  пере-
менных. 
Путь
U
x
∈ , A и B – нечеткие подмножества  U . Обозначим 
( )
( )
x
µ
b
~
,
x
µ
a~
b
a
=
=
.
 
Тогда 
( )
b
~
,
a~
min
b
~
a~
=
∧
- нечеткий аналог операции “ И”; 
( )
b
~
,
a~
max
b
~
a~
=
∨
- нечеткий аналог операции “ ИЛИ”;  
a~
1
a~
−
=
- нечеткий аналог операции “ НЕ “; 
(
)
( )
b
~
a~
b
~
a~
b
~
a~
∧
∨
∧
=
⊕
 – нечеткий аналог операции ”исключающее ИЛИ”. 
Можно доказать, что эти операции удовлетворяют следующим 
свойствам: 



∨
=
∨
∧
=
∧
a~
b
~
b
~
a~
a~
b
~
b
~
a~
 – коммутативность;  
 
(
)
(
)
(
)
(
)



∨
∨
=
∨
∨
∧
∧
=
∧
∧
c~
b
~
a~
–~
b
~
a~
c~
b
~
a~
–~
b
~
a~
- ассоциативность; 



=
∨
=
∧
a~
a~
a~
a~
a~
a~
- идемпотентность; 
(
) ( )
(
)
( ) ( )
(
)



∨
∧
∨
=
∧
∨
∧
∨
∧
=
∨
∧
c~
a~
b
~
a~
c~
b
~
a~
c~
a~
b
~
a~
c~
–
b
~
a~
- дистрибутивность;  
  
,
1
1
a~
,
a~
1
a~
,
a~
0
a~
,
0
0
a~
=
∨
=
∧
=
∨
=
∧
 
a~
a~
=
 
  
 
 
 
 
 
 
 
  
b
~
a~
b
~
a~
b
~
a~
b
~
a~
∧
=
∨
∨
=
∧
 – обобщение теорем де Моргана на случай нечетких множеств. 
  
 
 
  
(1.11) 
(1.12)
 
(1.13) 
(1.14)
 

 
36 
Доказательства всех этих формул тривиальны, за исключением, мо-
жет быть, формул (1.11 – 1.14). 
На рис. 1.22 – 1.23 приведены графические построения, доказываю-
щие соотношения (1.11), (1.12). Рис. 1.22, а, 1.23, а представляют резуль-
таты  выполнения  преобразований  в  левой  части  соотношений (1.13), 
(1.14), рис. 1.22, б, 1.23, б – в правой части этих же соотношений. Соответ-
ствующие результаты представлены заштрихованными областями. 
За исключением двух свойств 
1,
a
a
0,
a
a
=
∨
=
∧
 
для которых, кроме случая
1
a~
или
0
a~
=
=
, соответствующие соотношения 
для нечетких множеств не выполняются: 
0
a~
a~
≠
∧
,  
1
a~
a~
≠
∧
. 
Перечисленные  выше  соотношения  составляют  все  свойства  бипо-
лярной булевой алгебры. Читателю, желающему более подробно изучить 
этот вопрос, рекомендуем обратиться к работе [13]. 
 
 
 
 
 
 
 
µ 
 
 
 
                                          x 
                 а) 
 
 
 
µ 
 
 
 
                                          x 
                   б) 
 
             Рис. 1.22 
µ 
 
 
 
                                     x 
                    а) 
 
 
 
µ 
 
 
 
                                    x 
                 б) 
 
            Рис. 1.23 

 
37
1.8. Нечеткие числа. Математика нечетких чисел 
Нечеткие числа широко используются в повседневной жизни. Когда 
мы  говорим: “приблизительно  три”, “приблизительно  двадцать  пять”  и 
т.п., то тем самым предполагаем использование нечеткого числа.  
Формально определение нечеткого числа строится аналогично опре-
делению нечеткой переменной. Действительно, если считать, что универ-
сальное  множество – это  множество  действительных  чисел,  то  нечеткое 
подмножество 
U
X
∈ , определяемое функцией принадлежности 
( )
[ ]
1
,
0
x
X
∈
µ
, 
можно рассматривать как нечеткое число. 
Нечеткое число  X
~
на действительной прямой выпукло, если для ка-
ких-либо чисел 
k
j
i
k
j
i
x
x
x
,
x
,
x
,
x
≤
≤
 
 
( )
( ) ( )
(
)
.
x
,
x
min
x
k
x~
i
x~
j
x~
µ
µ
≥
µ
 
 
Нечеткое  число 
X
~
  на  дейст-
вительной  прямой  называется  нор-
мальным,  если 
( )
1.
x
maxµ
x~
=   На 
рис. 1.24 приведены 
1
X
~
 – нечеткое 
выпуклое  число, 
2
X
~
 – нечеткое 
нормальное  число, 
3
X
~
 – нечеткое 
нормальное выпуклое число. 
Вводя  понятие  нечеткого  числа  (нечетких  чисел),  мы,  естественно, 
должны определить некоторые, хотя бы простейшие, математические опе-
рации  над  этими  числами.  Сразу  же  следует  указать,  что  это  далеко  не 
тривиальная задача, которая к тому же в некоторых аспектах еще не реше-
на. 
Математические операции, вводимые для нечетких чисел, впрочем, 
как и для четких, должны решать, по крайней мере, две задачи: 
-  первая – это  находить  результат  применения  некоторой  комбина-
ции  математических  операций  к  заранее  известной  совокупности  чисел, 
т.е. находить значение соотношения 
(
)
,
x
,...,
x
,
x
y
3
2
1
ϕ
=
 
где 
ϕ - некоторый функционал; 
Рис. 1.24 

 
38 
- вторая – это находить значение некоторой переменной по извест-
ным значениям других, т. е. решения различного рода уравнений, напри-
мер для простейшего случая 
 
B
X
A
+
=
 или 
B
/
X
A
=
,  
где 
B
A,  известные значения; X  – неизвестная переменная. При этом оче-
видно, что должно выполняться условие, если 
B
A
X
−
=
 или AB
X
=
: 
A
B
/
)
AB
(
A
   
A
B
)
B
A
(
A
=
=
=
+
−
=
.  
 
 (1.15) 
Для  четких  чисел  выполнение  указанных  условий  и  соответственно 
решение  уравнений  каких-либо  проблем  не  составляют.  Кроме  того,  две 
перечисленные задачи в этом случае как бы объединяются. В какой-то ме-
ре это можно объяснить тем, что для четких чисел определены противопо-
ложное число 
A , такое что 
0
A
A
=
+
 или 
A
0
A
−
=
, и обратное число 
*
A : 
A
1
A
,
1
A
A
*
*
=
=
⋅
, 
т. е. эти числа  могут быть вычислены с помощью стандартных операций 
вычитания и деления. 
Для  нечетких  чисел  все  обстоит  значительно  сложнее.  Сразу  же 
укажем, что согласно исследованиям, проведенным в [28], нечеткое число 
не имеет противоположного и обратного чисел, а арифметические опера-
ции умножения и сложения для нечетких чисел коммутативны 
A
~
B
~
B
~
A
~
,
A
~
B
~
B
~
A
~
+
=
+
×
=
×
, 
ассоциативны  
(
)
C
~
B
~
A
~
)
C
~
B
~
(
A
~
×
×
=
×
×
, 
(
) (
)
C
~
B
~
A
~
C
~
B
~
A
~
+
+
=
+
+
  
и в общем виде недистрибутивны: 
(
)
C
~
A
~
B
~
A
~
C
~
B
~
A
~
×
+
×
≠
+
×
. 
В связи с этим первая и вторая задачи для нечетких чисел приобре-
тают определенную несвязанность. Проблема заключается в том,  что ме-
тоды, относящиеся к первой задаче, не дают точного решения второй, в то 
же  время  методы,  используемые  при  решении  второй  задачи,  могут  при-
меняться в первой с весьма существенными ограничениями. 
Для  решения  первой  задачи  нам  нужно  определить  алгоритмы  вы-
полнения арифметических операций над нечеткими числами, для решения 
второй – алгоритмы решения нечетких уравнений. 

 
39
Алгоритмы выполнения арифметических операций                                      
над нечеткими числами 
Конечной целью любого алгоритма для выполнения арифметических 
операций  над  нечеткими  числами  является  вычисление  функции  принад-
лежности  для  любой  точки  носителя  результата  выполнения  заданной 
арифметической операции над исходными нечеткими числами. Если  A
~
 и 
B
~
 – нечеткие числа с областью определения в виде интервала на действи-
тельной  оси  и  их  носители  соответственно  определены  как 
1
2
1
2
1
2
b
1
2
A
b
b
  
,
a
a
  
),
b
,
(b
S
  
),
a
 ,
(a
S
>
>
=
=
и 
)
b
,
a
(
g
 – некоторая  функция, 
определяющая  одну  из  четырех  арифметических  операций “+”, “-”, “:”, 
“
×”, то в общем виде справедливо соотношение 
( )
( ) ( )
{
}
,
b
µ
,
a
µ
min
  
Sup
x
µ
B
A
D
=
  
 
 
(1.16) 
x
)
b
,
a
(
g
= , 
b
A
S
b
,
S
a
∈
∈
, 
которое  отражает  принцип  обобщения,  впервые  сформулированный         
Л. Заде. Если функция  g  является функцией большего числа аргументов, 
то принцип обобщения записывается аналогично. 
  Соотношение (1.16) в  той  или  иной  мере  является  основой  различ-
ных арифметических алгоритмов для нечетких чисел. Значительное их ко-
личество  может быть объяснено различной точностью вычисления функ-
ции принадлежности и вычислительными затратами. Ниже будут рассмот-
рены несколько наиболее простых, но в то же время имеющих наибольшее 
практическое применение алгоритмов. Желающим познакомиться с более 
сложными можно рекомендовать работы [7, 28] и др. 
Арифметические операции над нечеткими числами                                        
при L-R-аппроксимации 
Одним  из  вариантов  представления  нечетких  чисел  является  так  на-
зываемая L-R-аппроксимация, при которой нечеткое число  X
~
определяет-
ся его левой 
L
x  и правой 
R
x границами, а также центральным значением 
∗
x . Наиболее просто L-R-аппроксимация выполняется для нечетких чисел, 
функции  принадлежности  которых  за  пределами  носителя  тождественно 
равны нулю, например треугольные, трапецеидальные. 

 
40 
 
Для треугольной функции принадлежности (рис. 1.25) нечеткое чис-
ло 
∗
≈ x
x
представляется следующим соотношением: 
(
)
(
)
∫
∫
∗
∗
−
+
−
=
∗
R
L
x
x
R
x
x
L
x
x
x
x
x
x
x~
, 
где  знак 
∫
означает  объединение  по  всем 
[
]
∗
∈
x
,
x
x
L
 и 
[
]
R
x
,
x
x
∗
∈
 соответственно. 
 
 
Пусть имеются два нечетких числа  
(
)
(
)
∫
∫
∗
∗
−
+
−
=
∗
1
R
1
1
1
L
x
x
1
R
x
x
1
L
1
x
x
x
x
x
x
x~
  
и      
(
)
(
)
∫
∫
∗
∗
−
+
−
=
∗
2
R
2
2
2
L
x
x
2
R
x
x
2
L
2
x
x
x
x
x
x
x~
.            
 
Суммой чисел 
∗
1
x~  и 
∗
2
x~ назовем число 
∗
3
x~ такое, что  
( )
( )
,
x
x
x
x
x~
3
R
3
3
3
3
L
3
x
x
x
x
x
x
3
∫
∫
∗
∗
µ
+
µ
=
∗
 
где 
2
L
1
L
3
L
x
x
x
+
=
; 
2
R
1
R
3
R
x
x
x
+
=
; 
∗
∗
∗
+
=
2
1
3
x
x
x
. 
  Для  треугольных  функций  принадлежности  слагаемых  функция 
принадлежности  суммы  также  будет  треугольной  и  представляться  урав-
нением 
( )
kx
a
x
0
+
=
µ
. Для определения значений 
0
a  и 
k
 необходимо для 
∗
≤
≤
3
3
L
x
x
x
 решить систему уравнений  
 
1
kx
a
0
=
+
  при 
∗
∗
∗
+
=
=
2
1
3
x
x
x
x
, 
0
kx
a
0
=
+
 при 
2
L
1
L
3
L
x
x
x
x
+
=
=
, 
откуда 
3
L
3
3
L
3
3
L
0
x
x
1
k
,
x
x
x
a
−
=
−
−
=
∗
∗
 
и соответственно 
( )
3
L
3
3
L
x
x
x
x
x
x
3
−
−
=
µ
∗
.  
Для 
∗
≤
≤
R3
3
*
x
x
x
 
1
kx
a
0
=
+
 
при 
∗
=
3
x
x
; 
 
0
kx
a
0
=
+
 при 
3
R
x
x
=
. 
Рис. 1.25 

 
41
Тогда 
R3
3
R3
3
R3
0
x
x
1
k
  
,
x
x
x
a
−
=
−
−
=
∗
∗
 и 
( )
3
R
3
3
R
x
x
x
x
x
x
3
−
−
=
µ
∗
. 
Таким образом,  
∫
∫
∗
∗
−
−
+
−
−
=
∗
∗
3
R
3
3
3
L
x
x
3
3
R
3
R
x
x
3
L
3
3
L
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x~
. 
Аналогично для операции вычитания  
∫
∫
∗
∗
−
−
+
−
−
=
∗
∗
3
R
3
3
3
L
x
x
3
3
R
3
R
x
x
3
L
3
3
L
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x~
, 
2
R
1
L
3
L
x
x
x
−
=
, 
2
L
1
R
3
R
x
x
x
−
=
, 
∗
∗
∗
−
=
2
1
3
x
x
x
. 
Для операций умножения и деления, предполагая сохраняемость тре-
угольной функции принадлежности, в работе [7] получены следующие со-
отношения: 
∫
∫
∗
∗
−
−
+
−
−
=
∗
∗
3
R
3
3
3
L
x
x
3
3
R
3
R
x
x
3
L
3
3
L
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x~
, 
2
L
1
L
3
L
x
x
x
=
, 
2
R
1
R
3
R
x
x
x
=
, 
∗
∗
∗
=
2
1
3
x
x
x
,   
результирующая функция принадлежности 
( )
x
k
a
x
1
0
x
3
+
=
µ
: 
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−
−
+
−
−
=
3
R
3
3
3
L
x
x
3
3
R
3
3
R
x
x
3
L
3
3
3
L
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x~
,  
где 
∗
∗
∗
=
=
=
2
1
3
L2
R1
R3
R2
L1
L3
x
x
x
  
,
x
x
x
,
x
x
x
, 
результирующая функция принадлежности 
( )
x
k
a
x
1
0
x
3
+
=
µ
. 
В  отношении  двух  последних  операций  целесообразно  сделать  сле-
дующее замечание. Операции умножения и деления являются операциями 
нелинейными,  поэтому  предположение  о  сохранении  вида  функции 
принадлежности представляются достаточно искусственными. 
Отметим еще одну особенность нормальных выпуклых непрерывных 
нечетких  чисел:  найти  нечеткое  число  и  его  правую  и  левую  границы 
можно  не  проводя  лингвистического  анализа,  поскольку  точно  известно, 
при  каком  х  функция  принадлежности  равна 1, а  при  каких  х  она  равна 
нулю. 

 
42 
Операции над нечеткими числами                                                                           
с использованием уровневых множеств 
В  основу  данного  подхода  к  выполнению  операций  над  нечеткими 
числами положена возможность дискретизации нечеткого числа по конеч-
ному числу 
α-уровней, когда каждому уровню α
i 
ставится в соответствие 
множество  
{
}
( )
,
n
1,
j
,
α
x
µ
,
,...x
x
,
x
X
i
j
α
n
α
2
α
1
α
α
i
i
i
i
i
=
≥
=
 
а также разложения на выпуклые, возможно, 
ненормализованные  нечеткие  подмножества 
(рис. 1.26). Для  операций  с  использованием 
уровневых  множеств  накладывается  допол-
нительное  ограничение:  эти  нечеткие  под-
множества  должны  иметь  функции  принад-
лежности  либо  строго  убывающие,  либо 
строго  возрастающие,  либо  постоянные 
(рис. 1.27). 
Эти ограничения объясняются тем, что если 
рассматривать  только  монотонные  (только 
возрастающие или только убывающие) операции
*
, то для этих операций на 
участках  одинаковой  монотонности  функций  принадлежности  результат 
может быть получен без дополнительного лингвистического анализа. 
 
 
                                                           
*
 
Бинарная 
операция 
◊  называется  возрастающей,  если  для  любых 
2
1
2
1
2
2
1
1
y
 
 
y
 
 
 x
 
x
     
     
y
x
    
u
    
y
x
◊
>
◊
⇒
>
>
, 
и 
убывающей, 
если 
для 
2
1
2
1
2
2
1
1
y
 
 
y
      
    
 x
 
x
  
    
y
x
u    
  
y
x
◊
<
◊
⇒
>
>
. 
 
Рис. 1.26 
Рис. 1.27

 
43
Пусть нечеткие числа  X
~
 и  Y
~
 представлены в виде 
α-уровневых под-
множеств,  для  которых  функции  принадлежности  имеют  одинаковый  ха-
рактер монотонности: 
{ } { }
i
i
Y
Y
~
,
X
X
~
α
α
=
=
. 
(
)
{
}
(
)
{
}
( )
( )
.
m
1,
q
J
1,
i
    
α
y
µ
,
n
1,
k
J
1,
i
   
α
x
µ
u
J,
1,
j
  
,...y
y
Y
~
,
I
1,
i
    
,...x
x
X
~
j
j
q
ji
α
i
i
k
i
α
j
m
j
α
1
j
α
i
n
i
α
1
i
α
=
=
≥
=
=
≥
=
=
=
=
 
Операции  выполняются  над  абсциссами  точек,  находящихся  на  оди-
наковых 
α-уровнях и имеющих одинаковые участки монотонности функ-
ций принадлежности. 
Рассмотрим для простоты один 
α-уровень α
i 
и три значения аргумен-
та (рис. 1.28) 
1,2,3
j
y
u
x
j
i
α
j
i
α
=
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
y
y
µ
,
y
y
µ
,
y
y
µ
Y
~
,
x
x
µ
,
x
x
µ
,
x
x
µ
X
~
3
i
α
3
i
α
3
i
α
2
i
α
2
i
α
2
i
α
1
i
α
1
i
α
1
i
α
i
α
3
i
α
3
i
α
3
i
α
2
i
α
2
i
α
2
i
α
1
i
α
1
i
α
1
i
α
i
α






=






=
 
 
Рис. 1.28

 
44 
  Тогда  для  строго  возрастающих  или  строго  убывающих  операций, 
какими являются сложение и умножение, справедливы соотношения 
(
)
(
)
(
)






×
×
×
=
×
=
3
i
α
3
i
α
3
i
α
2
i
α
2
i
α
2
i
α
1
i
α
1
i
α
1
i
α
i
α
i
α
i
α
y
x
µ
,
y
x
µ
,
y
x
µ
Y
~
X
~
Z
~
, (1.17) 
(
)
(
) (
)
.
y
x
µ
,
y
x
µ
,
y
x
µ
Y
~
X
~
Z
~
3
i
α
3
i
α
3
i
α
2
i
α
2
i
α
2
i
α
1
i
α
1
i
α
1
i
α
i
α
i
α
i
α






+
+
+
=
×
=
 (1.18) 
  Операции вычитания и деления не являются строго возрастающими 
или строго убывающими, поэтому их вначале надо представить в виде  
( )
,
Y
~
1
X
~
Y
~
X
~
),
Y
~
(
X
~
Y
~
X
~
×
=
−
+
=
−
 
а затем может использоваться или соотношение (1.17), или (1.18). 
Основным  ограничением  при  использовании  данного  метода  реали-
зации нечетких множеств является 
требование  участков  одинаковой 
монотонности  функций  принад-
лежности для участков операций. 
На рис. 1.29 представлен случай, 
когда это условие не выполняется. 
Алгоритм использования принципа обобщения при выполнении               
арифметических операций над нечеткими числами 
Арифметические  операции  над  нечеткими  числами  можно  рассмат-
ривать как функциональное преобразование возможных значений вектора 
{ }
n
,
1
i
  
x
X
i
=
=
r
 
(
)
.
x
,...,
x
y
n
1
ϕ
=
                                         (1.19) 
Например, 
.
x
x
y
  
,
x
x
y
  
,
x
x
y
  
,
x
x
y
2
1
2
1
2
1
2
1
−
=
=
=
+
=
 
Считая известным значение функции принадлежности 
( )
i
X
x
µ
, необ-
ходимо найти функцию принадлежности 
( )
y
Y
µ
, которая будет определять 
результат  функционального  преобразования (1.20). В  литературе,  изла-
Рис. 1.29 

 
45
гающей основные операции над нечеткими множествами (числами), огра-
ничиваются преимущественно лишь заданием основного правила для оп-
ределения функции принадлежности: 
( )
( )
{
}
)
x
(
min
max
y
i
x
y
X
:
X
Y
µ
=
µ
=
ϕ
r
r
. 
 
   
(1.20) 
При  непосредственном  использовании  такого  правила  для  решения 
практических  задач  возникают  трудности  в  разработке  методов  и  алго-
ритмов  определения  результирующей  функции  принадлежности,  вызван-
ные  математической  сложностью  описания  и  определения  множества  Х, 
удовлетворяющего условию (1.20). 
В  работе [24] предложены  два  варианта  алгоритмов  определения 
функции принадлежности (1.20): алгоритм перебора и рекуррентный алго-
ритм. В нашем случае мы остановимся только на алгоритме перебора, ко-
торый, несмотря на громоздкость, позволяет получить в большинстве слу-
чаев результаты, представляющие практический интерес. 
Рекуррентный  алгоритм  предполагает  решение  нелинейного  уравне-
ния,  которое  только  в  отдельных  случаях  имеет  аналитическое  решение 
[18]. 
При использовании метода перебора на множестве возможных значе-
ний  нечетких  переменных  формируется  множество  различных  их  комби-
наций 
 
{ }
L
1,
l
  
x
l
i
=
, 
где l – номер комбинации. 
 
Для каждой комбинации рассчитывают значение функции 
{ }
(
)
l
i
l
x
y
ϕ
=
  
и функции принадлежности 
( )
( )
{
}
i
x
i
l
Y
x
min
Y
l
µ
=
µ
. 
 
В общем случае для различных комбинаций 
k
j
i
l
,
l
,
l
 возможно, что 
k
l
j
l
i
l
y
y
y
=
=
, при этом 
( )
( )
( )
k
l
Y
j
l
Y
i
l
Y
Y
µ
Y
µ
Y
µ
≠
≠
. 
 
Тогда результирующее значение 
( )
( )
{
}
l
Y
k
,j
,
i
l
Y
y
max
Y
µ
=
µ
. 
  В заключение полученные значения 
l
y
 упорядочивают и затем раз-
бивают на некоторое количество k групп с постоянным числом членов n
k
. 

 
46 
Для  каждой  группы  определяют 
k
µ
(Y
e
)=max {
( )
e
Y
y
µ
}.  Значения 
k
µ (y
e
) рассматриваются как n
k
 значений функции принадлежности резуль-
тата. Очевидно, что точность вычисления 
( )
y
Y
µ
 определяется дискретно-
стью  разбиения  множеств  исходных  значений 
i
x
.  После  получения  дис-
кретного множества значений 
( )
y
Y
µ
 имеет смысл воспользоваться интер-
поляционными процедурами. 
Выбор  количества  дискретных  отсчетов  исходных  значений 
i
x
 
можно  осуществить,  задаваясь  точностью  представления  функций  при-
надлежности. 
Отметим, что данный алгоритм может применяться и для многоме-
стных  арифметических  операций,  однако  вычислительные  трудности  в 
этом случае существенно возрастают. 
1.9. Нечеткие выводы
 
В  системах  управления,  использующих  методы  теории  нечетких 
множеств, алгоритм управления описывается множеством правил типа: 
 «если <условия>, то <действие>»,                        (1.21) 
которые часто называют продукционными правилами, а также правилами 
условного логического вывода, или правилами нечеткого вывода. 
Логическое выражение, стоящее после «если», называют антецеден-
том, предпосылкой и т.п., а стоящее после «то», – заключением операции, 
выводом, следствием и т.п. 
В  общем  случае  при  проектировании  системы  создается  некоторая 
система правил вида (1.21), в которых правая и левая части содержат ком-
бинации  лингвистических  значений  соответствующих  переменных.  Для 
этих лингвистических значений определяются соответствующие функции 
принадлежности,  которые  подвергаются  обработке,  характер  которой  оп-
ределяется структурой правила. 
 
Пусть существуют знания эксперта о том, что необходимо открыть 
регулирующий  клапан,  если  уровень  воды  поднимается,  т.е.  существует 
правило: 
“Если уровень воды высокий, то открыть”.               (1.22) 

 
47
 
Лингвистические  значения  “высокий” (рис. 1.30, а)  и  “открыть” 
(рис. 1.30, б) представляются функциями принадлежности. 
  
     
 
 
Рис. 1.30 
 
Предположим теперь, что уровень воды соответствует предположе-
нию  “Довольно  высокий”,  которое  представляется  соответствующей 
функцией принадлежности (рис. 1.31).  
Какую  операцию  необходимо  вы-
полнить  в  данном  случае  над  регули-
рующим  клапаном?  Очевидно,  что  ре-
шение  следует  искать  на  основе  сопос-
тавления  уже  имеющегося  правила 
(1.22)  и  наблюдения,  характеризуемого 
лингвистическим  значением  “Довольно 
высокий”, т.е. решить задачу 
“Если уровень высокий, то открыть” 
“Если уровень довольно высокий, то
?” 
Обычная человеческая логика дает следующий результат: 
“Если уровень высокий, то открыть” 
“Если уровень довольно высокий, слегка открыть”. 
Однако  для  практической  реализации  последнего  вывода  надо  ука-
зать конкретное значение угла поворота регулирующего клапана, которо-
му соответствует лингвистическое значение “слегка открыть”. На рис. 1.32 
представлена  графическая  интерпретация  операций  над  функциями  при-
 
µ
x
(x)                      Высокий 
  
 1  
 
 
 
 
 
                                                                 
x
 
                               
а) 
 
 
µ
y
(y)                         Открыть  
 1  
 
 
 
 
 
                                                       
 y
 
                              б) 
       
 Довольно высокий 
 
 
 
 
 
 
                                                 x  
  
Рис. 1.31 
)
X
(
x
µ

 
48 
надлежности,  с  помощью  которых  можно  получить  конкретное  управ-
ляющее воздействие. 
Рис. 1.32 
Эти преобразования можно записать в виде формул, используя рас-
смотренные ранее операции над нечеткими множествами.  
( )
( )
{
( )}
x
µ
,
x
µ
min
z
µ
x~
x~
z
′
=
,  
где  
( )
x
µ
x~
 – функция принадлежности терма “Высокий”; 
( )
x
µ
x~′
 – функция принадлежности терма “Довольно высокий”. 
x
x
=
Z
∧
′
; z
∈Z; 
( )
( )
{
( )}
z
µ
,
y
µ
min
y
µ
z
y~
y
=
′
,  
где 
( )
y
µ
y
 – функция принадлежности терма “Открыть”. 
Z
y
=
y
∧
′
; 
( )
{
}
y
µ
max
y
y′
∗
→
, 
где y* – управляющее  воздействие,  соответствующее  рассмотренной  си-
туации. 
Полученное правило вывода значения управляющего воздействя на-
звали  «максиминное  правило».  В  более  формальной  записи  приведенные 
преобразования  представляют  отношения  предпосылки  и  заключения: R: 
A
→B, которое можно рассматривать как нечеткое множество на декарто-
вом  произведении  полного  пространства  предпосылок  и  полного  про-
странства заключений. Таким образом, процесс получения вывода B
′ с ис-
пользованием наблюдения A
′ и значения A→B можно представить в виде 
следующей формулы. – Предпосылка 1: Если есть A, то y=B; предпосылка 
2: x есть A
′; следствие: y есть B′. 
В  приведенных  примерах  рассматривалась  простейшая  форма  не-
четкого продукционного правила. Возможны и более сложные: 
 Если 
<   >, то <   >, иначе <   >. 
( )
x
x
µ
  
Довольно высокий       Высокий         
( )
y
x
µ
  
 1 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                              
x                                          y*               y 
 
 

 
49
 Если 
<   > и <   >, то <   >. 
 Если 
<   > или <   >, то <   >, 
где  между  знаками 
<  >  заключены  некоторые  нечеткие  высказывания:         
β есть α, где β – имя лингвистической переменной; α- её лингвистическое 
значение.  В  дальнейшем  для  простоты  слово  “есть”  будем  заменять  зна-
ком равенства “=”. 
Необходимо  отметить,  что  в  строгом  смысле  отождествление  сою-
зов и, или, если...то, если...то...иначе с операциями конъюнкции, дизъюнк-
ции,  отрицания  и  импликации  справедливы  только  при  выполнении 
свойств коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности высказы-
ваний, образующих предложения. Обычно эти условия выполняются, что 
позволяет нам в дальнейшем отказаться от специальных проверок. 
В общем случае в условной части правил вывода могут присутство-
вать  сложные  логические  конструкции,  поэтому  первый  этап  обработки 
правил заключается в упрощении условной части путем применения к ней 
в  соответствии  с  ее  структурой  операций,  определенных  для  нечетких 
множеств. 
 Нечеткое продукционное правило “Если..., то...” можно рассматри-
вать  как  высказывание  импликативной  формы.  Тогда
 
нечеткому  продук-
ционному правилу 
если 
A
x
1
=
, то 
B
y
1
= ,                                    (29) 
где 
1
x
 и 
1
y
- лингвистические переменные; 
A
 и 
B
 – лингвистические зна-
чения  x
1
  и  y
1
,  которым  соответствуют  нечеткие  множества 
( )
{
}
/x
x
µ
A
A
=
, 
( )
{
}
/y
y
µ
B
B
=
,  согласно  логике  Лукасевича  может  быть  поставлена  в  со-
ответствии результирующая функция принадлежности: 
( )
( )
( )
(
)
y
µ
x
µ
-
1
1
y
x,
µ
B
A
+
∧
=
  
или согласно Л. Заде 
( )
( )
( )
(
)
y
µ
x
µ
-
1
y
x,
µ
B
A
∨
=
. 
Итак,  мы  получили  два  варианта  преобразования  нечетких  продук-
ционных  правил  “Если...,  то...”.  Первые  варианты  этих  преобразований 
были предложены Л. Заде, затем В. Мамдани [24] предложил свои. В на-
стоящее  время  известно  более  десятка  различных  преобразований.  Под-
робный анализ с учетом выполнения различных условий проведен в [26]. 
В  настоящее  время  наиболее  часто  используются  следующие  преобразо-
вания: 
1.  
( )
( )
{
( )}
( )
( )
y
x
y
,
x
min
y
x,
B
A
B
A
µ
∧
µ
=
µ
µ
=
µ
. 

 
50 
2.  
( )
( )
{
( )}
{
( ) }
1
,
x
-
1
min
y
,
x
min
y
x,
A
B
A
µ
∨
µ
µ
=
µ
. 
3.  
(
)
( )
(
)
{
( )}
y
x
1
,
1
min
y
x,
B
A
µ
+
µ
−
=
µ
. 
4.  
( )
( )
(
)
{
( )}
y
,
x
1
max
y
x,
B
A
µ
µ
−
=
µ
. 
Преобразование 1 удобно тем,  что оно сохраняет  ширину значения 
функции принадлежности и позволяет выделить каждое преобразование и 
процесс  его  построения  даже  из  информации  в  табличной  форме.  Среди 
недостатков  этого  правила  можно  отметить  коммутативность,  отсутствие 
разницы  между  выражениями  типа 
C
B)
(A
→
∧
  и 
C)
B
(
A
→
→
  и  невоз-
можность  использовать  связку  “ИЛИ”  вместо  “И”  для  интерпретации 
связки “ИНАЧЕ” для получения протокола применения правил: 
Правило 1, иначе Правило 2, иначе... 
 
Другие правила лишены этого недостатка за счет того, что каждому 
правилу нельзя поставить в соответствие его область влияния. Например, 
арифметические связки в Правиле 3 приводят к получению новых значе-
ний  функции  принадлежности,  что  требует  выполнения  аппроксимации. 
Правило 4 лишено  всех  указанных  недостатков  и  является  наиболее  “че-
ловеческим”[26] по природе, так как, если предпосылка А дает следствие 
Б, то предпосылка А, близкая к А, дает следствие Б, близкое к Б. Это свой-
ство особенно важно для систем с участием “человеческого фактора”, где 
все ситуации не могут быть заданы с помощью набора правил.  
Контрольные вопросы 
1. Что характеризует функция принадлежности? 
2. Укажите основные требования по построению функций принад-
лежности. 
3. Какие методы построения функций принадлежности позволяют 
проверить корректность экспертных оценок? 
4. Приведите варианты определения операций пересечения и объеди-
нения в теории нечетких множеств. 
5. В чем заключаются основные особенности нечеткой арифметики? 
6. Как строятся правила условного логического вывода? 
7. Укажите основные методы вычисления импликации при обработке 
правил условного логического вывода. 
8. Какие методы используют для нахождения решения при обработке 
правил условного логического вывода? 

 
51