1.5. Операции над нечеткими множествами
Операции над нечеткими множествами такие, например, как объе-
динение и пересечение можно определить различными способами. Выбор
конкретного из них зависит от специфики решаемой задачи, т.е. от кон-
кретного смысла, вкладываемого в эти операции.
Рис. 1.13
Рис. 1.14
25
Объединением нечетких множеств А, В и U называют нечеткое
множество вида
( )
( )
(
)
∫
µ
∨
µ
=
U
B
A
x
x
x
B
A U
, (1.3)
где
( )
( )
(
)
( ) ( )
{
}
U
x
,
x
,
x
max
x
x
B
A
B
A
∈
µ
µ
=
µ
∨
µ
.
Знак интеграла здесь и для всех последующих операций обозначает
их выполнение над всеми элементами множеств А и В.
Графическая интерпретация операции объединения приведена на
рис. 1.15.
Рис. 1.15 Рис. 1.16
Пересечением нечетких множеств А и В из U называют нечеткое
множество вида (рис.1.16)
( )
( )
(
)
∫
µ
∧
µ
=
U
B
A
x
x
x
B
A I
, (1.4)
где
( )
( )
(
)
( ) ( )
{
}
U
x
,
x
,
x
min
x
x
B
A
B
A
∈
µ
µ
=
µ
∧
µ
.
Дополнением или отрицанием нечеткого множества А называют не-
четкое множество вида (рис. 1.17)
( )
(
)
U
x
,
x
x
1
A
U
A
∈
µ
−
=
∫
. (1.5)
Концентрирование нечеткого множества А из U, определяют в виде
(рис. 1.18)
( )
( )
(
)
U
x
,
x
x
A
CON
U
2
A
∈
µ
=
∫
.
(1.6)
( )
x
µ
Рис. 1.17
Рис. 1.18
( )
x
µ
26
Растяжение нечеткого множества А из U, определяют в виде (рис.
1.19)
( )
( )
(
)
U
x
,
x
x
A
DIL
U
5
.
0
A
∈
µ
=
∫
.
(1.7)
Множеством уровня
α нечеткого множества (α-срезом) А называют
нечеткое множество, составленное из элементов
U
x
∈ , степень принад-
лежности которых нечеткому множеству А не меньше
α (рис. 1.20)
[ ]
( )
{
}
α
≥
µ
∈
=
∈
α
∀
α
x
,
U
x
x
A
,
1
,
0
A
.
Строгое множество уровня определяется как
[ ]
( )
{
}
α
>
µ
∈
=
∈
α
∀
−
α
x
,
U
x
x
A
,
1
,
0
A
.
Тогда функцию принадлежности можно определить для произволь-
ного нечеткого множества А с помощью его
α-сечения в виде
( )
[ ]
( )
(
)
x
,
min
sup
x
A
1
,
0
A
α
∈
α
µ
α
=
µ
,
где
( )
∉
∈
=
.
A
x
если
0,
,
A
x
если
1,
x
µ
α
α
Aα
Нечеткое множество уровня
α нечеткого множества А определяется
следующим образом:
)
),
(
,
(
~
x
α
α
∈
µ
=
A
x
x
x
A
.
Преимуществом такого определения является то, что в прикладных
задачах целесообразно использовать не сами нечеткие множества, а их
множества уровня, что позволяет экономить время вычислений и память
ЭВМ.
Пусть А и В – произвольные нечеткие множества из U. Говорят, что
А включает в себя В
(
)
A
B
⊆
, если
( )
( )
x
µ
x
µ
U,
x
A
B
≤
∈
∀
.
Рис. 1.19
Рис. 1.20
27
Когда последнее неравенство строгое, тогда говорят, что включение
строгое. Очевидно, что А=В, если
(
)
B
A
⊆
,
(
)
A
B
⊆
.
Если функции принадлежности двух нечетких множеств А и В из U
равны, то А и В – равные нечеткие множества, т.е. если
( )
( )
U
x
,
x
x
A
B
∈
∀
µ
=
µ
, то А=В.
Нетрудно убедиться, что введенные операции над нечеткими мно-
жествами являются более общими, чем аналогичные операции над обыч-
ными множествами.
Известно определение функции принадлежности объединения не-
четких множеств через их алгебраическую сумму
( )
( )
( )
( )
( )
µ
+
µ
≥
µ
+
µ
=
µ
,
случае
противном
в
x
x
,
1
x
x
при
1
X
B
A
B
A
B
AU
а функции принадлежности пересечения нечетких множеств через алгеб-
раическое произведение
( )
( ) ( )
U
x
,
x
x
x
B
A
B
A
∈
∀
µ
µ
=
µ
I
.
Нечеткие подмножества некоторого универсального множества от-
носительно операций объединения, пересечения и дополнения, опреде-
ленных соотношениями (1.3) – (1.6) удовлетворяют следующим свойст-
вам:
1. Идемпотентность:
0
A
A
A
A
≠
= I
U
при
0
A
≠ . Отметим, что
нечеткое подмножество универсального множества U называется пустым
при условии
U
x
для
0
)
x
(
0
∈
∀
=
µ
.
2. Коммутативность: A
B
B
A
,
A
B
B
A
I
I
U
U
=
=
.
Данные свойства с очевидностью вытекают из приведенных выше
определений операций над нечеткими множествами.
3. Ассоциативность:
(
)
(
) (
)
(
)
C
B
A
C
B
A
,
C
B
A
C
B
A
I
I
I
I
U
U
U
U
=
=
.
4. Дистрибутивность:
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
C
A
B
A
C
B
A
,
C
A
B
A
C
B
A
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
=
=
.
5. Поглощаемость:
(
)
A
A
B
A
=
I
U
. Это свойство можно записать
в другой форме, а именно
(
)
(
)
A
B
A
A
,
min
,
max
µ
=
µ
µ
µ
.
6. Единственность обратного:
( )
A
A
= .
7. Правила Моргана:
(
)
(
)
.
B
A
B
A
,
B
A
B
A
U
I
I
U
=
=
28
Перейдем к рассмотрению следующих операций над нечеткими
множествами.
Пусть А
1
и А
2
– нечеткие подмножества универсальных множеств U
1
и U
2
соответственно. Тогда декартово произведение нечетких подмно-
жеств А
1
и А
2
обозначается А
1
×А
2
и определяется как нечеткое подмноже-
ство множества U. Последнее определяется декартовым произведением
2
1
U
U
U
×
=
.
При этом функция степеней принадлежности декартова произведе-
ния А
1
×А
2
определяется выражением
(
)
( )
( )
{
}
2
2
1
1
2
A
1
A
2
1
A
A
U
x
,
U
x
,
x
x
min
x
,
x
2
1
2
1
∈
∈
µ
µ
=
µ
×
.
Например,
пусть
имеем
универсальные
множества
U
1
=U
2
=(3,5,7) и
нечеткие подмножества А
1
=(0.5/3, 1/5, 0.6/7) и А
2
=(1/3, 0.6/5).
В этом случае декартово произведение нечетких подмножеств А
1
и А
2
будет равно А
1
А
2
={0.5/(3,3), 1/(5,3), 0.6/(7,3), 0.5/(3,5), 0.6/(5,5), 0.6/(7,5)}.
Декартово произведение нечетких множеств тесно связано с поняти-
ем нечеткого отношения, которое будет рассмотрено ниже.
В ряде приложений теории нечетких множеств требуется проводить
их сравнение. Формализацией сравнения нечетких подмножеств А и В
универсального множества U с конечным числом элементов может быть
вычисление расстояния Хэмминга, которое определяется выражением
(
)
( )
( )
∑
=
µ
−
µ
=
n
1
i
i
B
i
A
x
x
B
,
A
d
.
Знак «
∑
» обозначает арифметическое сложение.
Отметим, что
( )
( )
( ) ( )
{
}
( ) ( )
{
}
(
)
n.
B
A,
d
0
,
x
µ
,
x
µ
min
x
µ
,
x
µ
max
x
µ
x
µ
i
B
i
A
i
B
i
A
i
B
i
A
≤
≤
−
=
−
Например, A=(0/0, 0.1/1, 0.2/2, 0.5/3, 0.8/4, 1/5),
B=(1/0, 1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5).
Найдем расстояние Хэмминга
d(A,B)=/1-0/+/1-0.1/+/0.8-0.2/+/0.6-0.5/+/0.8-0.4/+/10.2/=
=1+0.9+0.6+0.1+0.4+0.8=3.8.
Кроме линейных форм расстояние между нечеткими подмножест-
вами рассматривают как квадратичные формы, а именно
(
)
( )
( )
[
]
,
x
x
B
,
A
e
n
1
i
2
i
B
i
A
∑
=
µ
−
µ
=
для которых
(
)
n
B
,
A
e
0
≤
≤
.
29
1.6. Формализованное представление отношений
Параметры различных систем могут быть связаны между собой раз-
личного рода отношениями. Выделение отношений осуществляется по за-
ранее выбранному признаку. Если нас интересует влияние параметра сис-
темы на ее производительность или качество выпускаемой продукции, то
данная связь может быть описана различного вида отношениями, “влия-
ет”, “ не влияет”, “сильно влияет”, “ слабо” и т.д. Наиболее распростра-
ненной формой задания отношений является словесное описание. Обще-
принятая формализация отношений осуществляется в соответствии со
следующим определением.
Отношением R на множестве U называется подмножество R множе-
ства, определяемого декартовым произведением.
Существует несколько форм задания отношений. Задание отноше-
ния R на множестве U может быть выполнено перечислением всех пар
(
)
(
)
n
1,
j
i,
,
U
u
,
u
j
i
=
∈
, для которых выполняется отношение R. Кроме то-
го, отношения задаются в виде матриц и графов. Простейшими отноше-
ниями являются такие, для которых можно четко указать, выполняются
они или нет для параметров Х
1
и Х
2.
В тех случаях, когда связи между параметрами системы выражены
нечетко, целесообразно формализовать отношения в соответствии со сле-
дующим определением.
Пусть U
1
и U
2
– универсальные множества. Если U является декар-
товым произведением U=U
1
×U
2
, то нечеткое отношение R определяется
как нечеткое подмножество универсального множества U:
[ ]
1
,
0
u
u
:
2
1
R
→
×
µ
.
Значение
(
)
j
i
R
u
,
u
µ
для конкретной пары
(
)
2
1
j
i
u
u
u
,
u
×
∈
характе-
ризует субъективную степень выполнения отношения
j
i
u
R
~
u
.
Если множество U конечно и невелико, нечеткое отношение R удоб-
но задавать в матричном виде. В этом случае матрица
( )
R
~
M
отношения R
~
представляет собой квадратную матрицу, строки и столбцы которой поме-
чены элементами
U
u
∈ , и на пересечении строки u
i
и столбца u
j
записано
значение
(
)
j
i
R
j
i
u
,
u
r
µ
=
.
30
П р и м е р . Пусть U={1,3,5,7,9}. Определим на множестве U нечет-
кое отношение R
~
“намного больше”. Матрица такого отношения может
иметь следующий вид:
1 3 5 7 9
1 0 0 0 0 0
3 0,2
0 0 0 0
5 0,1
0 0 0 0
7 0,8 0,4 0 0 0
9 1 0,8 0,5 0 0
Наглядностью обладает задание нечеткого отношения в виде нечет-
кого графа
( )
V
~
,
U
~
G
~ =
, где
{
}
5
4
3
2
1
u
,
u
,
u
,
u
,
u
U
~ =
– множество вершин;
>
µ
µ
=
0
u
,
u
(
,
)
u
,
u
(
)
u
,
u
(
V
~
j
i
R
j
i
j
i
R
(
)
U
u
,
u
j
i
∈
(рис. 1.21) – множе-
ство нечетких дуг. Очевидно, что, как и в случае нечетких множеств,
обычное четкое отношение можно рассматривать как частный случай не-
четкого отношения, функция принадлежности которого принимает два
значения: 0 и 1.
Дадим некоторые определения, характеризующие нечеткие отноше-
ния. Носителем нечеткого отношения R на множестве U называют под-
множество декартова произведения U
×U вида
>
µ
×
∈
=
0
u
,
u
(
,
U
U
)
u
,
u
(
)
u
,
u
(
R
~
Supp
j
i
R
j
i
j
i
.
Рис. 1.21
31
Носитель нечеткого отношения следует понимать как отношение на
множестве U, связывающее все пары
(
)
j
i
u
,
u
, для которых степень выпол-
нения данного нечеткого отношения не равна нулю.
Для нашего примера
(u
3
,u
1
),(u
5
,u
1
),(u
7
,u
1
),(u
9
,u
1
),(u
5
,u
3
),(u
7
,u
3
),(u
9
,u
3
),(u
9
,u
5
).
По аналогии с нечеткими множествами определяется и множество
α-уровня нечеткого отношения, т.е.
(
)
(
)
(
)
α
≥
µ
×
∈
=
α
j
i
R
j
i
j
i
u
,
u
,
U
U
u
,
u
u
,
u
R
.
Перейдем к рассмотрению операций над нечеткими отношениями,
некоторые из которых являются аналогами операций над нечеткими мно-
жествами, а некоторые присущи только нечетким отношениям.
Пересечением
нечетких отношений P и Q на U
×U называют нечет-
кое отношение
Q
P I , определяемое функцией принадлежности
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
{
}
j
i
Q
j
i
P
U
u
,
u
j
i
Q
j
i
P
j
i
Q
P
u
,
u
,
u
,
u
min
u
,
u
u
,
u
u
,
u
j
i
µ
µ
=
µ
∧
µ
=
µ
∈
I
.
Объединением
нечетких отношений P и Q на Х
×Х называют нечет-
кое бинарное отношение
Q
P U , определяемое функцией принадлежности
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
{
}
j
i
Q
j
i
P
j
i
Q
j
i
P
j
i
Q
P
x
,
x
µ
,
x
,
x
µ
max
x
,
x
µ
x
,
x
µ
x
,
x
µ
=
∨
=
U
.
Дополнением
нечеткого отношения
X
X
R
×
⊆
называют отношение
R
с функцией принадлежности
(
)
(
)
X.
X
x
,
x
,
x
,
x
µ
1
x
,
x
µ
j
i
j
i
R
j
i
R
×
∈
∀
−
=
Обратным отношением
к отношению R называют отношение R
-1
с
функцией принадлежности
(
)
(
)
X.
X
x
,
x
,
x
,
x
µ
x
,
x
µ
j
i
j
i
R
j
i
R
1
×
∈
∀
=
−
Очевидно, что матрица М
-1
(R) является транспонированной М(R).
Говорят, что отношение R
1
включено в отношение R, если множест-
во пар, для которых выполняется отношение R
1
, находится в множестве
пар, для которых выполняется отношение R. Так, например, отношение
между параметрами Z
1
и Z
2
, характеризуемое термином “много меньше”,
32
включено в отношение, характеризуемое понятием “меньше”. Отметим,
что обратное утверждение может не выполняться. Тот факт, что отноше-
ние R
1
включено в отношение R, обозначают следующим образом: R
R
1
⊆ .
На этапе формализации качественной информации важную роль иг-
рают отношения эквивалентности, порядка и доминирования. С помощью
отношения эквивалентности могут выделяться классы свойств исследуе-
мых объектов или систем, которые являются в некотором смысле равно-
ценными. Это отношение оказывается полезным для выявления в множе-
стве первичных терминов подмножества терминов-синонимов.
Отношение эквивалентности обладает свойствами рефлективности,
симметричности и транзитивности. Рефлективность отношения R обозна-
чает выполнение условия
R
U
⊆ , U-диагональное отношение. Данное от-
ношение используется для формализации понятий типа “похоже на”, “по-
добен” и т.п. На главной диагонали матрицы рефлексивного отношения
стоят единицы. В понятиях типа “похоже на”, “подобен” выделяют свой-
ства симметричности.
Отношение R симметрично, если выполняется условие
1
R
R
−
⊆
, т.е.
если выполняется связь z
1
Rz
2,
то должно выполняться z
2
Rz
1.
Транзитивность подразумевает то, что если параметры z
1
и z
2
связа-
ны отношением R, а также этим же отношением связаны z
2
и z
3,
то пара-
метры z
1
и z
3
связаны этим же отношением. Формально данное свойство
записывается следующим образом: если z
1
Rz
2
и z
2
Rz
3,
то z
1
Rz
3.
Наряду с рассмотренными свойствами отношений выполняются
свойства антирефлексивности и асимметричности. Первое выполняется,
если пересечение
0
U
R
=
I
, а второе – при
0
R
R
1
=
−
I
. По своему смы-
словому содержанию свойства антирефлексивности и асимметричности
противоположны рефлективности и симметричности соответственно.
Отношение доминирования характеризуется свойствами антиреф-
лексивности и асимметричности. Это отношение используется для форма-
лизации связей между z
1
и z
2
в случаях, когда z
1
превосходит или предпоч-
тительнее в некотором смысле z
2.
Частным случаем отношения доминирования является отношение
порядка, для которого дополнительно выполняется свойство транзитивно-
сти. Примером отношения порядка является понятие “ больше”.
33
В теории нечетких множеств имеется ряд операций над нечеткими
отношениями, которые не имеют аналогов для нечетких множеств, рас-
смотренных в п. 1.5.
Максиминное произведение нечетких отношений
R
1
и R
2,
которые
определены на множестве U, обозначается
2
1
R
R o
и задается функцией
принадлежности
(
)
2
1
R
R
u
,
u
2
1
o
µ
,вычисляемой следующим
образом:
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
2
R
1
R
2
1
R
R
u
,
z
,
z
,
u
min
Sup
u
,
u
1
1
2
1
µ
µ
=
µ
o
,
где
µ
R1
,
µ
R2 –
функции принадлежности нечетких отношений R
1
и R
2
соот-
ветственно.
Например,
пусть
заданы
два
универсальных
множества
U
1
=U
2
=(1,2,3). На множестве U
1
×U
2
определены нечеткие отношения
=
=
0
3
.
0
7
.
0
3
.
0
0
3
.
0
7
.
0
3
.
0
0
R
;
1
8
.
0
4
.
0
8
.
0
1
8
.
0
4
.
0
8
.
0
1
R
2
1
.
Так как нечеткие отношения заданы в матричном виде, то макси-
минное произведение в данном случае представляет собой операцию, ана-
логичную умножению матриц, но вместо арифметических операций ум-
ножения и сложения используют операции нахождения минимального (/\ –
пересечение) и максимального (\/ – объединение) элементов соответствен-
но. Поэтому максиминное произведение имеет вид
=
0.4
0.3
0.7
0.7
0.3
0.7
0.7
0.3
0.4
R
R
2
1
o
.
Минимаксное произведение нечетких отношений
R
1
и R
2
на множе-
стве U определяется функцией принадлежности, вычисляемой по соотно-
шению
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
2
R
1
R
2
1
R
R
u
,
z
,
z
,
u
max
inf
u
,
u
1
1
2
1
µ
µ
=
µ
o
.
Если нечеткие отношения R
1
и R
2
заданы в виде матриц, то мини-
максное произведение представляет собой операцию, аналогичную опера-
ции умножения матриц, но вместо арифметических операций умножения
и сложения используются операции /\ и \/.
34
Например, для предыдущего примера минимаксное произведение в
матричном виде равно
=
7
.
0
4
.
0
4
.
0
8
.
0
8
.
0
8
.
0
1
4
.
0
7
.
0
R
R
2
1
o
.
Максимультипликативное произведение нечетких отношений
R
1
и
R
2
,
заданных на множестве U, определяется функцией принадлежности
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
.
u
z,
µ
z
,
u
µ
Sup
u
,
u
µ
2
R
1
R
2
1
R
R
1
1
2
1
×
=
o
Для исходных данных примера максимультипликативное произве-
дение нечетких отношений равно
=
28
.
0
3
.
0
7
.
0
56
.
0
24
.
0
56
.
0
7
.
0
3
.
0
28
.
0
R
R
2
1
o
.
Выбор той или иной композиции при решении практических задач
определяется требованиями, которым должно удовлетворять решение за-
дачи. Поэтому в каждом конкретном случае данный вопрос требует особо-
го рассмотрения.
Dostları ilə paylaş: |