Reja: Kirish Asosiy qism

3-ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa,u bir pallali giperboloid deb ataladi. Bu tenglamada a≥b>c, c>0munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Bir pallali giperboloidning tenglamasidan ko’rish mumkinki, u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan,koordinata boshi esa uning simmetriya markazi bo’ladi. Bir pallali giperboloidniz=h tenglama bilan kessak,
har qanday h uchun kesimda
tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo’ladi. Bu ellipsning yarim o’qlari mos ravishda
kattaliklarga tengdir. Agar h=0 bo’lsa, kesimda eng kichkina ellips hosil bo’ladi. Bu ellips bir pallali giperboloidning bo’g’zi deb ataladi.
Bir pallali giperboloidni x=h, y=h tenglama bilan aniqlangan tekisliklar bilan kessak, mos ravishda |h|
Tenglamalar bilan aniqlanuvchi giperbolalar hosil bo’ladi. Bu giperbolalardan birinchisining yarim o’qlari mos ravishda

kattaliklarga tengdir. Agar |h|=a yoki |h|=b bo’lsa,kesimda mos ravishda

tenglamalar bilan aniqlanuvchi ikkita kesishuvchi to’ri chiziqlar hosil bo’ladi. Bu faktlarni hisobga olib, bir pallali giperboloidni chizmada tasvirlashimiz mumkin.
.
4-ta’rif. Sirtning har bir nuqtasidan shu sirtda yotuvchi to’g’ri chiziq o’tsa, bunday sirt chiziqli sirt deyiladi.
Sirt chegaralangan bo’lsa,unda to’gri chiziq yotmaydi va shuning uchun u chiziqli sirt bo’lmaydi. Demak,ellipsoid chiziqli sirt bo’lmaydi.


1-teorema. Bir pallali giperboloid chiziqli sirt bo’lib,uning har bir nuqtasidan giperboloidda yotuvchi ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.

Isbot. Bir pallali giperboloidda M(x0, y 0,z 0) nbuqtasidan {l,m,n} yo’nalishdagito’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari

ko’rinishda bo’ladi. Bu to’g’ri chiziq bir pallali giperboloidda yotishi uchun

Tenglik t ning har qanday qiymatida bajarilishi kerak. Bu tenglikda

munosabatni hisobga olsak,

tengliklarni hosil qilamiz. Yo’nalishni aniqlovchi {l,m,n} vektorning hamma koordinatalari nolga teng bo’lmaganligi uchun yuqoridagi tenglikning birinchisidan n≠0 ekanligi kelib chiqadi. Biz umumiylikni chegaralamasdan n=c deb olamiz. Bundan esa l,m lar uchun
shartlarni olamiz. Agar biz
tengliklar bilan ( x_1,y₁,0) nuqtani aniqlasak
tenglikni olamiz. Bundan tashqari
tenglikdan
munosabat kelib chiqadi. Demak,(x_1,y₁,0) nuqta giperboloidning bo’g’ziga tegishlidir. Yuqoridagi (6) tenglikdan
munosabat kelib chiqadi. Biz agar
tengliklar bilan {l,m,c} vektorning l,m koordinatalarini aniqlasak,

munosabatni hisobga olib (8) tenglikdan u=±1 qiymatlarni topamiz. Demak, biz qidirayotgan to’g’ri chiziqlarning parametrik tenglamalari

ko’rinishda bo’ladi. Bu to’g’ri chiziqlar t=-z₀/c bo’lganda ,(x_1,y₁,0) nuqtadan o’tadi. Haqiqatan ham (6)tengliklardan
munosabatlarni hosil qilish mumkin. Teorema isbotlandi.