Reja: Kirish Asosiy qism

2. Asosiy qism

1. 
   Konus va uning kesimlari
   

Ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida

Ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, u konus deb ataladi. Bu tenglamada a≥b>c, c>0 munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Konus tenglamasidan ko’rinib turibdiki,u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan, koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir. Bundan tashqari, agar M₀(x₀,y_0,z₀) nuqta konusga tegishli bo’lsa, O(0,0,0) va M₀(x₀,y_0,z₀) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqdagi har bir nuqta konusga tegishlidir. Haqiqatan ham, bu to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta (tx₀,ty_0,tz₀) ko’rinishga ega va bevosita

tengliknitekshiribko’rishmumkin.
Konusningharbiryasovchisibuellipsnibirmarta (faqatbittanuqtada) kesibo’tadi. Konusdayotuvchivabuxossagaegabo’lganchiziqlarkonusningyasovchisi deyiladi. Bu ellipslarning markazlaridan o’tuvchi to’g’ri chiziq konusning o’qi deyiladi.
Yuqoridagi kanonik tenglamada konusning o’qi OZ o’qi bilan ustma-ust tushadi. Koordinata boshi ham konusga tegishli, konusning hamma yasovchilari bu nuqtadan o’tadi. Konusning hamma yasovchilari o’tuvchi nuqta uning uchi deb ataladi.
4-ta’rif. Konusni uning uchidan o’tmaydigan tekisliklar bilan kesish natijasida hosil bo’lgan chiziqlar konus kesimlar deyiladi.
2-teorema. Aylanadan boshqa hamma konus kesimlar tekislikda berilgan nuqtagacha bo’lgan masofasining berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasiga nisbati o’zgarmas bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rnidir.
Isbot. Konusni α tekislik bilan kesganimizda hosil bo’lgan chiziqni γ bilan belgilaylik. Konusga ichki chizilgan va α tekislikka urinuvchi sferaning tekislik bilan kesishish nuqtasini F bilan belgilaymiz. Ichki chizilgan sfera konusga aylana bo’ylab urinadi. Bu aylana yotuvchi tekislikni ω bilaan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli ixtiyoriy M nuqta olib, undan o’tuvchi yasovchi bilan ω tekislikning kesishish nuqtasini B bilan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli M nuqtadan α va ω tekisliklar kesishishidan hosil bo’lgan σ to’gri chiziqqa
perpendikulyar o’tkazamiz. Sferaga M nuqtadan o’tkazilgan urinmalar kesmalari bo’lgani uchun FM=BM tenglik o’rinli bo’ladi. Berilgan M nuqtadan ω tekislikkacha bo’lgan masofani ā,b bilan belgilasak,
tengliklar o’rinli bo’ladi. Bu yerda φ- α va ω tekisliklar orasidagi burchak, ψ- konus yasovchi va ω tekislik orasidagi burchak,A nuqta esa M nuqtadan σ to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asosidir.
Yuqoridagi tengliklardan:
munosabatni olamiz. Bu munosabatlardan ko’rinib turibdiki, FM/AM nisbat M nuqtaga bog’liq emas. Teorema isbotlandi.
Konus kesim uchun F nuqta uning fokusi σ to’g’ri chiziq esa direktrisa deyiladi. Yuqoridagi nisbat 1 dab kichik yoki teng bo’lganda konus kesimning hamma nuqtalari fokus bilan birgalikda direktrisaning boshqa tarafida yotuvchi M’ nuqta uchun
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Agar yuqoridagi nisbat birdan katta bo’lsa, direktrisaning har ikkala tarafida konus kesimga tegishli nuqtalar bor. Demak,bu holda konus kesim ikki kesimdan iborat.
Biz bilamizki, agar e<1 bo’lsa konus kesim ellips bo’ladi. Agar e=1 bo’lsa, konus kesim parabola bo’ladi. Konus nkesim uchun e>1 bo’lganda, u giperbola bo’ladi. Avval o’tgan mavzular ellips,giperbola va parabola mavzularimizning har
birini ikkinchi teoremaga ko’ra, konusning birorta tekislik bilan kesishishidan hosil bo’lar ekan. Bu faktni algebraik metod bilan isbotlash ham mumkin.
Konusni z=h tenglama bilan aniqlanuvchi tekislik bilan kessak, kesimda yarim o’qlari mos ravishda
kattaliklarga teng bo’lgan ellips hosil bo’ladi. Agar biz konusni x=h, y=h tenglamalar orqali aniqlangan tekisliklar bilan kessak, kesimda yarim o’qlari mos ravishda
kattalikilarga teng bo’lgan giperbolalar hosil bo’ladi. Konus kesimda parabola hosil bo’lishini ko’rsatish uchun,uni z=(c/a)x+h, h≠0 tenglama bilan aniqlanuvchi tekislik bilan kesamiz. Natijada kesimda
tenglama bilan aniqlanuvchi ikkinchi tartibli chiziqni hosil qilamiz. Koordinatalar sistemasini almashtirish yordamida bu tenglamani
ko’rinishga keltirsak,uning parabola ekanligini ko’ramiz.