Reja: Kirish Asosiy qism

Teorema. Giperbolikn paraboloid chiziqli sirt bo’lib, uning har bir nuqtasidan paraboloidda yotuvchi ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.
Isbot. Giperbolik paraboloidga tegishli y=k₁x+b₁ nuqtadan o’tuvchi va
tenglamalar bilan aniqlangan to’g’ri chiziq paraboloidda yotishi uchun
tenglik parametrning har bir qiymatida bajarilishi kerak. Bu tenglikni
ko’rinishda yozib, undan

Tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklardan {l,m,n} yo’nalish uchun
munosabatni hosil qilamiz. Bu yerda u=±1 tenglik bajarilgan. Demak, giperbolik paraboloidning har bir nuqtasidan unda yotuvchi ikkita to’g’ri chiziq o’tadi. Bu to’g’ri chiziqlarningparametrik tenglamalarini

ko’rinishda yozish mumkin. Bu parametrik tenglamalarda

munosabatbajarilsa,
bo’lganda (5) to’g’richiziqlarz=0 tekisliknikesibo’tadi. Bu tekislikda
tenglamalar bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziqlar ham yotadi. Demak,(5) to’g’ri chiziq (6) to’g’ri chiziqlarning bittasini kesib o’tadi. Buni aniqlash uchun (5) ifodalarni (6) tenglamalarga qo’ysak
tenglikni olamiz. Demak, (5) to’g’ri chiziq
to’g’ri chiziqni kesib o’tadi. Bu to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalarini
ko’rinishda yozsi mumkin. Yuqoridagi (5) va (7) to’g’ri chiziqlar kesishish

nuqtasida kesishadi va bu nuqtaga parametrning
qiymati mos keladi.
Agar t´=t-t₁ belgilashni kiritib, (5) to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalarini

ko’rinishda yozish mumkin.
Agar

bo’lsa, giperbolik paraboloidning (4) tenglamasidan z₀=0 tenglik kelib chiqadi. Demak, bu holda (5) to’g’ri chiziq z=0 tekislikda yotadi. Yuqoridagi keltirib chiqarilgan xossalarni quyidagicha yozishimiz mumkin.
Teorema. Giperbolik paraboloidning har bir yasovchisi z=0 tekislikda yotadi yoki bu tekislikni kesib o’tadi. Yasovchining parametrik tenglamalarini

Ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda u=±1. Agar yasovchi z=0 tekislikda yotsa τ=0, yasovchi z=0 tekislikda yotmasa.

l-(5) va (7) to’gri chiziqlarning kesishish nuqtasidan koordinata boshigacha bo’lgan masofadir.