Riyazi Statistikanın Problemləri

Riyazi statistikada istifadə olunan təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının əsas qanunları
Normal paylama
Ehtimalların paylanmasının normal modeli ehtimal nəzəriyyəsində və riyazi statistikada son dərəcə mühüm rol oynayır. Normal paylanmanın əsas xüsusiyyəti onun müəyyən şərtlər altında digər paylanmalarla yaxınlaşan məhdudlaşdırıcı olmasıdır.
Normal paylanmalara tez-tez praktikada müxtəlif sahələrdə rast gəlinir. Ümumiyyətlə qəbul edilir ki, bütün ölçmə xətaları, hissələrin çəkisi, hissələrin ölçüsü, artilleriya mərmisinin məsafəsi və bir çox başqa təsadüfi dəyişənlərin normal paylanması var.
Normal paylanma ehtimal sıxlığı funksiyası ilə verilir:

burada a təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisidir, yəni. M (X) = a; - SV X-nin standart sapması, yəni. D (X) = (D (X) təsadüfi dəyişənin dispersiyasıdır).
(5.1) düsturundan normal modelin a və s iki parametrindən asılı olduğunu görmək olar, ona görə də o, iki parametrli paylanma modeli adlanır.
Əgər X təsadüfi dəyişəni M (X) = a və = D (X) parametrləri ilə normal paylanmaya malikdirsə, onda bu fakt simvolik işarədən istifadə etməklə qısaca yazılır: SV X ∈ N (a, s).
Ehtimal sıxlığı funksiyasının qrafiki normal əyri və ya Qauss əyrisi adlanır.
Bu əyri Şəkil 3-də göstərilmişdir.
10.f (x) bütün x Î R üçün müəyyən edilmişdir.
20. Normal paylanma əyrisi x = a düz xəttinə nisbətən simmetrikdir.
30. Qauss əyrisi x = a nöqtəsində maksimuma malikdir:

40. Qauss əyrisinin iki əyilmə nöqtəsi var:
x1 = a - və x2 = a + .
50. Qauss əyrisi ilə absis arasındakı sahə 1-dir; absis oxu, Qauss əyrisi və düz xətlər arasında a ± 2s »0,95-ə bərabərdir.
60. Parametr artdıqca (azaldıqda) maksimum ordinat azalır (artır), şək. 4. Başqa sözlə, parametri əyrinin mərkəzinin sabit mövqeyində əyrinin formasını xarakterizə edir; Qauss əyrisinin altındakı sahə həmişə 1 ( ) bərabər olduğundan, onda artırsa, əyri düz olur - təpə, azalır - Qauss əyrisi yuxarıya doğru uzanır. parametri bəzən miqyas parametri adlanır.
70. Əgər dəyişməmiş -də a riyazi gözləntisini dəyişdirsək, onda Qauss əyrisi absis boyunca sürüşəcək, yəni. a = M (X) parametri əyrinin sabit formada mövqeyini xarakterizə edir. Bəzən a parametri sürüşmə parametri adlanır (bax. Şəkil 5).
Əgər SV X∈ N (a, ), onda təsadüfi dəyişən U = x-a / - M (U) = 0 və (U) = 1 parametri ilə normal paylanmaya malikdir, yəni. U∈ N (0,1).
Buna görə də, təsadüfi dəyişən U = x-a / - normallaşdırılmış və ya standartlaşdırılmış normal qiymət adlanır. Normallaşdırılmış təsadüfi dəyişən U-nun ehtimal paylama sıxlığı formaya malikdir:

SV X∈N (a, ) paylama funksiyası aşağıdakı formaya malikdir:

Normallaşdırılmış təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası

SV X∈N (a, ) [ a, b ] intervalında vurma ehtimalının hesablanmasını asanlaşdırmaq üçün normallaşdırılmış Laplas funksiyası tətbiq edilir:

Sonra

Normallaşdırılmış Laplas funksiyasından istifadə edərək RV X∈N (a, ) paylanma funksiyasını aşağıdakı formada yaza bilərik:

-nin paylanması (chi - kvadrat)
Y∈N (a, ) normal qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişən Y-ni nəzərdən keçirək. Sonra = U = Y - a / təsadüfi dəyişən M (U) = 0 və (U) = 1 parametrləri ilə normal qanuna uyğun olaraq paylanır, yəni. U∈N (0, 1).
Belə bir standartlaşdırılmış təsadüfi dəyişənin kvadratı

bir sərbəstlik dərəcəsi olan təsadüfi dəyişən c2 (chi kvadrat) adlanır.
M (Yi) = ai və standart kənarlaşmalar si, i = 1, n ilə normal qanuna uyğun paylanmış n müstəqil təsadüfi dəyişən Y1, Y2, ..., Yn nəzərə alın.
Bu təsadüfi dəyişənlərin hər biri üçün biz standartlaşdırılmış təsadüfi dəyişən yaradırıq

Standartlaşdırılmış dəyişənlərin kvadratlarının cəmi

cv = n sərbəstlik dərəcəsi olan təsadüfi kəmiyyəti adlanır.
SV paylama sıxlığı formaya malikdir:

Beləliklə, c2-nin paylanması bir n parametrindən - sərbəstlik dərəcələrinin sayından asılıdır.
c2 paylama funksiyası formaya malikdir: