Tafakkur ziyosi

TABIIY VA ANIQ FANLAR

---

175 
“TAFAKKUR ZIYOSI”
 
ilmiy-uslubiy jurnali 2021/4-son
Если 
же 
0
2
2
<
−
−
a
a
, 
то 
,
0
2
2
1
2
2
>
−
−
=
−
a
a
x
a 
.
0
2
2
2
<
−
−
=
−
a
a
x
a
и значить, 
2
2
2
a
a
x
−
+
=
не корень
данного 
уравнения. 
Неравенство 
0
2
2
≥
−
−
a
a
будет выполнено тогда и 
только тогда , когда 
.
2
2
a
a
−
≥
Так как 
,
2
2
≤
≤
−
a
то при 
0
2
≤
≤
−
a
это 
неравенства 
не 
выполняется 
а при 
2
0
≤
<
a
оно эквивалентно 
такому: 
,
2
2
2
a
a
−
≥
откуда 
,1
2
≥
a
и так 
как , 
2
0
≤
<
a
то из неравенства 
1
2
≥
a
следует, что 
.
1
≥
à
Итак 
,только 
при 
2
1
≤
≤
a
, 
2
2
2
a
a
x
−
+
=
- 
корень 
данного 
уравнения. Если же 
1
2
<
≤
−
a
, то 
2
2
2
a
a
x
−
+
=
не корень данного 
уравнения. Перейдём к исследованию 
значения 
2
2
2
a
a
õ
−
−
=
.
Имеем: 
.
2
2
4
)
2
(
4
2
2
2
4
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
−
−
−
=
−
.
2
2
4
)
2
(
4
2
2
2
4
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
−
−
−
=
−
.
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
x
a
−
+
=
−
−
−
=
−
будет корнём данного уравнения тогда и 
только тогда, когда 
0
2
2
≥
−
+
a
a
. Значить 
2
2
2
a
a
õ
−
−
=
Если 
же 
0
2
2
<
−
+
a
a
, 
то 
2
2
2
a
a
õ
−
−
=
не корень данного 
уравнения.
Соотношение 
0
2
2
≥
−
+
a
a
будет 
выполнено только тогда , когда 
.
2
2
à
a
−
≥
−
Если 
2
0
≤
≤
a
то это неравенство 
выполнено. Если же 
0
2
<
≤
−
a
то оно 
эквивалентно такому: 
1
,1
,
2
2
2
2
≤
≤
≥
−
a
a
a
a
И так как 
0
2
<
≤
−
a
,то неравенство
1
≤
a
принимает вид 
1
≤
−
a
т.е. 
.
1
−
≥
a
Таким образом , 
2
2
2
a
a
õ
−
−
=
- корень данного уравнения если 
.
2
1
≤
≤
−
a
Окончательно, если 
1
2
−
<
≤
−
a
,то 
уравнение не имеет корней. Если же 
1
1
<
≤
−
a
, то уравнение имеет 
корень 
2
2
2
a
a
õ
−
−
=
; если 
2
1
≤
≤
a
, то 
уравнение имеет корни 
.
2
2
2
a
a
õ
−
±
=
2-способ. Графическое решение. 
Такой способ часто применяется в 
математическом анализе и является 
TABIIY VA ANIQ FANLAR

---

“TAFAKKUR ZIYOSI”
 
ilmiy-uslubiy jurnali 2021/4-son
176 
весьма 
удобным 
для 
решения 
алгебраического уравнения. Например, 
рассмотрим уравнения 
x
a
x
−
=
−
2
1
оно может быть сведено к нахождению 
абсцисс точек пересечения двух линий: 
2
1
x
y
−
=
и 
x
a
y
−
=
.
Первое уравнение есть уравнение 
единичной окружности 
0
,1
2
2
≥
=
+
y
y
x
, а второе уравнение 
a
y
x
=
+
есть 
уравнение прямой , параллельной 
биссектрисе II и IV четверти и 
отсекающей на осях координат равные 
отрезки (Рис.2).
Если 
1
−
<
a
,то эти лини не 
пересекаются; данное уравнение не 
имеет корней. Если 
1
−
=
a
, то эти лини 
пересекаются в одной точке (-1,0); 
данное уравнение имеет один корень: 
.
1
−
=
x
Если 
1
1
<
<
−
a
,то 
эти 
лини 
пересекаются в одной точке: ее 
абсциссу, т.е. корень данного уравнения, 
найдем, решая систему. 



=
+
≥
=
+
a
ó
x
y
y
x
0
,1
2
2
И выбирая для x меньшее значение 
корня: 
2
2
2
a
a
õ
−
−
=
Если 
1
=
a
,то лини (1) и (2 ) 
пересекаются в двух точках (0,1) и (1,0) 
; данное уравнение имеет два корня : 
0
=
x
и 
.
1
=
x
Если 
2
1
<
<
a
,то лини (1) и (2 ) 
пересекается в двух точках; их абсциссы 
являются корнями данного уравнения:
2
2
2
a
a
õ
−
±
=
.
Если 
2
=
a
,то лини (2) касается 
полуокружности (2 ) в точке 
.
2
1
,
2
1






10 Қ.Азимов, К.Азимова. Функцияларнинг композициясини дарс жараёнида ўқитиш методикаси. TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYA jurnali, 2019/3-SON, 95-100 бет, Тошкент.
Данное уравнение имеет одна корень: 
.
2
1
=
x
Наконец, если 
2
>
a
, то лини (1) и 
(2 ) не пересекаются; данное уравнение 
не имеет корней:
Замечание 1. Кроме выше 
приведённых, существует ещё и другие 
методы решении иррациональных 
уравнений. 
Например, 
метод 
рационализация
10
. 
I.2.Примеры для самостоятельного 
решения.
I.2.1.Решить 
иррационального 
уравнения 
a
x
x
=
−
+
2
1
a) методом замена переменной,
Указание 
к 
решению. 
Перепишем в виде 
x
a
x
−
=
−
2
1
или 
x
a
a
x
a
−
=
−
−
−
2
]
)
[(
1
и положим 
y
x
a
=
−
.
Тогда уравнение примет вид :
y
y
ay
a
=
−
+
−
2
2
2
1
Корнями этого уравнения могут 
быть только неотрицательные значения 
у; Оно эквивалентно следующей 
смешанной системе 
,
0
,
2
1
2
2
2
≥
=
−
+
−
y
ó
y
ay
a
б) Указание к решению. (методом 
смешанных 
систем) 
Корнями 
уравнения
a
x
x
=
−
+
2
1
 
или уравнения 
õ
a
x
−
=
−
2
1
могут служить только 
числа из сегмента 
,1
1
≤
≤
−
x
для которых 
.
õ
a
≥
Тогда имеем смешанную систему 



≥
−
=
−
x
a
x
a
õ
2
2
)
(
1
I I . 1 . Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е 
уравнения 
Рассмотрим 
уравнение 
вида
c
x
b
x
a
=
+
cos
sin
, у которого 
b
a
,
и 
TABIIY VA ANIQ FANLAR

---

177 
“TAFAKKUR ZIYOSI”
 
ilmiy-uslubiy jurnali 2021/4-son
с 
произвольные 
коэффициенты. 
Такие уравнения решаются разными 
способами.
1-способ. 
Если 
использовать 
формул 
2
cos
2
sin
2
sin
,
2
sin
2
cos
cos
2
2
x
x
x
x
x
x
=
−
=
приходим 
к 
уравнению 
.
2
cos
2
sin
2
cos
2
2
sin
2
2
c
x
a
x
x
b
x
a
=
+
+
−
Выполняя замену 
2
x
tg
u
=
имеем 
уравнению 
,
0
2
2
2
2
=
+
+
C
x
Btg
x
Atg
где 
.
0
≠
+
C
a
2-способ. Если 
1
2
2
=
+
b
a
, то можно 
ввести вспомогательный угол 
ϕ
такое, что, 
ϕ
ϕ
sin
,
cos
=
=
b
a
и уравнение 
пишется в виде 
.
)
cos(
ñ
x
=
−
ϕ
Если 
=
ϕ
cos
1
2
2
2
2
2
2
=






+
+






+
b
a
b
b
a
a
, 
то можно ввести вспомогательный 
угол 
ϕ
такое, 
что 
2
2
2
2
sin
,
cos
b
a
b
b
a
a
+
=
+
=
ϕ
ϕ
, 
обозначить 
2
2
b
a
+
=
ρ
, то уравнение
c
x
b
x
a
=
+
cos
sin
 
принимает 
вид 
2
2
)
cos(
b
a
c
x
+
=
−
ϕ
. 
Пример 
2. 
Решить 
тригонометрического уравнения .
1-способ. Метод использование 
эквивалентных преобразований . 
Если 
использовать 
формул
,
2
sin
2
cos
cos
2
2
x
x
x
−
=
2
cos
2
sin
2
sin
x
x
x
=
, 






+
=
2
cos
2
sin
2
2
2
2
x
x
приходим 
к 
уравнению 






−
=
+
−
2
sin
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
.
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
т.е.
0
2
cos
2
cos
2
sin
4
2
sin
3
2
2
=
+
−
x
x
x
x