Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

Masalani yechish bosqichlari: Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish usullari ikki turga bo‘linadi: to‘g‘ri (yoki analitik) va taqribiy (iteratsion) usullar. Analitik usulda tenglamaning barcha yechimlari chekli sondagi operatsiyalarda (yoki formulalar) orqali aniqlanadi. Masalan, shu usulga ushbu ах²+bх+с = 0 – kvadrat tenglamaning yechimlarini topishni misol qilib keltirish mumkin. Bu tenglamaning yechimlari quyidagicha:

x₁ b b²  4ac , _{x2 }b b²  4ac .
2a 2a
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish bir necha bosqichga bo‘linadi: ildizlarning mavjudligini, sonini, xarakterini va ularning joylashishini tekshirish; ildizlarni ajratish; ildizlarning taqribiy qiymatlarini topish, ya’ni tenglamaning yagona ildizi mavjud bo‘lgan yetarlicha kichik [a,b] kesmani aniqlash (dastlabki yaqinlashuvchi ildiz); ildizlarning barchasini yoki ularning bir qismini talab qilingan aniqlikda topish.
Dastlabki uchta bosqichda analitik yoki grafik usuldan (ba’zida tadqiqot obyekti yoki hodisaning fizik ma’nosidan) foydalanish mumkin. Bunda quyidagi holatlar kuzatiladi: ildiz yagona; cheksiz ko‘p yechimlar; ildiz yo‘q; bir nechta yechimlar mavjud bo‘lib, ulardan ba’zilari haqiqiy, ba’zilari esa mavhum; ildizlar karrali; ildizlar bir biriga juda yaqin va dastlabki yaqinlashishni topish murakkab.
Oxirgi bosqichda esa biror taqribiy (iteratsion) usuldan foydalaniladi, bunda dastlabki tenglamaning ildizini topish juda murakkab bo‘lgan holda bu tenglama uning ildiziga teng yoki unga juda ham yaqin joylashgan ildizli sodda tenglamaga ham almashtirilishi (masalan, transendent tenglamani algebraik tenglamaga almashtirish) mumkin.
Tenglamani yechishning geometrik talqini. Tenglamaning ildizlari har xil bo‘lishi mumkin. Geometrik nuqtai nazardan bu x ildiz y = f(x) funksiya grafigining Ox abssissa o‘qi bilan kesishish nuqtasini bildiradi.
Agar birinchi tartibli hosila f ( x )  0 bo‘lsa, u holda x – oddiy ildiz, aks holda esa u karrali ildiz deb ataladi.
A gar barcha k<m va f ^(m)( x )0 f(x) uchun f ^(k)( x ) = 0 bo‘lsa, u holda m – butun son x ildizning karrasi deb ataladi. 1.2–rasmda x₁ va x₃ – oddiy, x₂ – eng kamida ikki karrali, x₄ – eng kamida uch karrali ildiz.
Boshqacharoq qilib aytganda, agar f(x) funksiyani x ildizi atrofida 2.2–rasm. Algebraik tenglama f(x)=(x– x )^pg(x) ko‘rinishda ifoda- ildizlarining sxematik tasviri. lash mumkin bo‘lsa, u holda g(x) –
chegaralangan funksiya (g( x )≠0) uchun p – natural son ildizning karrasi deb ataladi. Toq p larda f(x) funksiya [a,b] kesmada ishorasini almashtiradi, ya’ni f(a) f(b)<0, juft p larda esa yo‘q.