Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

1.3. Algebraik tenglamaning ildizlarini ajratish

Ko‘phadning, ya’ni (1.2) algebraik tenglamaning ildizlarini ajratish masalasi yaxshi o‘rganilgan va ancha osondir, bunda a_i (i=0,1,…,n) koeffisiyentlar ham haqiqiy va ham kompleks sonlardan iborat bo‘lishi mumkin. Faqat shuni ta’kidlaymizki, bunda (1.2) ko‘phadni
ko‘paytuvchilarga ajratish, Gorner sxemasi, o‘rniga qo‘yish orqali akslantirish (masalan, x=cy, x=ya, x=1/y kabi almashtirishlar), Bernulli usuli va boshqa usullar bu algebraik tenglamaning ildizlarini ajratish masalasini soddalashtiradi.
Quyidagi teoremalarning birinchisi boshqalariga nisbatan umumiyroqdir, chunki u kompleks ildizlarining ham chegaralarini beradi. Biz har doim (1.2) tenglamada koeffisentlar haqiqiy va a₀ ≠ 0, a_n ≠ 0 deb olamiz.
(Nyuton teoremasi). Agar x=c>0 uchun f(x) ko‘phad va uning barcha f (x), f (x), ... , f (n)(x) hosilalari nomanfiy bo‘lsa, yani f ^(k)(c)  0 (k  0,1, ... , n), u holda R=c ni (1.2) tenglamaning musbat ild-
izlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin.
Isbot. Teylor formulasiga ko‘ra
f (x)  f (c)  f (c)(x c)  ...  f (n) (c) (x c)n
n! .
Teorema shartiga ko‘ra x>c bo‘lganda bu tenglikning o‘ng tomoni musbatdir. Demak, (1.2) tenglamalarning barcha x⁺ musbat ildizlari x⁺<R tengsizlikni qanoatlantiradi.
Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi.
Quyidagi
f₁(x)  (1)ⁿ f (x)  a₀xⁿ a₁x^n1 a₂x^n2  . . .  (1)ⁿa_n,
f2 (x)  xn f  1  anxn an1xn1  . . . a1xa0,
 x
f3(x)  (x)n f  1  anxn an1xn1  ... (1)na0
 x
ko‘phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo‘llab, f(x), f₁(x), f₂(x), f₃(x) lar musbat ildizlarining yuqori chegaralari R₀, R₁, R₂, R₃ larni mos ravishda topgan bo‘lsak, u vaqtda (1.2) tenglamaning hamma x⁺ musbat ildizlari 1/R²x⁺R va hamma x^– manfiy ildizlari esa –R₁ x^––1/R₃ tengsizlikni qanoatlantirar ekan.
Endi oliy algebradan ma’lum bo‘lgan quyidagi teoremalarni isbotsiz keltiramiz.