Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

Gauss teoremasi. n-darajali ko‘phad n ta haqiqiy yoki kompleks ildizlarga ega bo‘ladi, agar k-karrali ildizni k marta hisoblash mumkin bo‘lsa.
Bezu teoremasi. P(x) ko‘phadni (x–a) ikkihadga bo‘lishdan qolgan qoldiq P(a) ga, ya’ni ko‘phadning x=a dagi qiymatiga teng.
Bezu teoremasi kompleks sohada ham o‘rinli.
Dikart teoremasi. (1.2) tenglama koeffisentlaridan tuzilgan sistemada ishora almashtirishlar soni qancha bo‘lsa (sanashda nolga teng koeffisentlarga e’tibor qilmaymiz), tenglamaning shuncha musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashtirishlar sonidan juft songa kamdir.
Faraz qilaylik, (1.2) tenglama karrali ildizga ega bo‘lmasin. Biz f₁(x) orqali f^’(x) hosilani, f₂(x) orqali f(x) ni f₁(x) ga bo‘lganda hosil bo‘lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, f₃(x) orqali f₁(x) ni f₂(x) ga bo‘lganda hosil bo‘lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, va h.k. belgilaymiz va bu jarayonni qoldiqda o‘zgarmas son hosil bo‘lguncha davom ettiramiz. Natijada Shturm qatori deb ataluvchi ushbu f (x), f₁(x), f₂ (x), ... , f_k (x)
funksiyalar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz.
Shturm teoremasi. f(x) ko‘phadning ildizlaridan farqli a va b (a < b) sonlarni olib, x ni a dan b gacha o‘zgartirganda f(x) uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo‘qolsa, f(x) ning (a,b) oraliqda xuddi shunday haqiqiy ildizlari mavjud bo‘ladi.
Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to‘la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish bilan bog‘liq bo‘lgan hisoblashlar ko‘p vaqt talab qiladi. Shturm teoremasining qo‘llanilishi quyidagichadir. Avval (1.2) tenglamaning barcha ildizlari yotgan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan [a,b] kesma _j nuqtalar bilan kichik oraliqchalarga bo‘linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning [_i,_i+1] kesmadagi ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu kesmalarda ildizlarning soni bittadan ko‘p bo‘lsa, kesma ikkiga bo‘linadi va har bir kesma uchun Shturm teoremasi qo‘llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki har bir kesmachalardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o‘tish kerakki, Shturm qatoridagi f_i(x) funksiyalarni musbat sonlarga ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o‘zgarmaydi.