U dalaboyev vektor va tenzor

+ 
ydy 
=
 
0
,
tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy
25
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

yechimi 
jc
2 
+ 
y 2 
= 
C2
bo‘ladi. Integral chiziq Mo(l,0) nuqtadan 
o‘tishligidan C = 1 kelib chiqadi (2.6 - rasm). 
4
3
-misol. a - [ c , r ]
vektor maydonning vektor chizig‘ini toping.
c-o'zgarm as vektor.
D> 
c= cti 
+ 
c2j
+ 
c3ic, 
r 
= 
xi 
+ 
yj 
+ 
:k,
bo‘lgani uchun
5 =
[ 
c ,r
] =
7 
k
y -
= ( c2r -
c ,y )l
+ ( c3x - c,r)7 + (
cty
-
c2x)k
(2.1) tenglamaga asosan
dx
_ 
dy 
_ 
d:
c2: - c 3y c , x - c t: cty - c 2x
Birinchi kasrni 
x
ga, ikkinchi kasmi 
y
ga , uchunchi kasmi 
z
ga 
ko‘paytiramiz va proporsiyaning xossasiga asosan quyidagini olamiz 
dx 
_ 
dy
_ 
dz
_ 
xdx + ydy + :dz
c2: - c 3y c3x - c f cty - c 2x
0
bundan
xdx + ydy + :d: =
0
x1 + y 2 + : 2 = Ax 
At = const >
0
Endi birinchi kasmi 
cj
ga , ikkinchi kasmi 
c2
ga, uchunchi kasmi 
C3 ga ko'paytiramiz va yana proporsiyaning xossasiga asosan topamiz 
dx 
_ 
dy 
_ 
d: 
cK
dx
+ 
c2dy + c3dz
c2: - c 3y c3x - c , : c ,y - c 2x
0
ctdx + c2dy + c,dz =
0 =>
c3x + c2y
+ c3r = 
A2,
Biz izlagan vektor chiziqlari 
x 1 + y 2
+c2 
= A,
1
A, - const
c,x + c2y + c3: = A2\
Demak, berilgan vektor maydonning 
vektor chiziqlari markazi koordinata boshida 
boMgan 
sferalar 
bilan 
tekisliklaming 
kesishidan hosil bo‘lgan aylanalardan iborat 
(vektor chiziqlardan biri 2.7 - rasmda 
keltirilgan).^
2.7 - rasm
26
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

4
-misol.
Vektor 
5 = - y l + xj + bk
maydonning (1,0,0) nuqta orqali 
o‘tuvchi vektor chizig'ini toping. 
z 
^
dx dy dz
y 
x 
b
bundan quyidagini olamiz
x
2 + y = C ,, 
C,>0,
t- parametr kiritsak
x = JC\cost,
y^^/c/sinf,
Ikkinchi tenglamani yechamiz
^fcfcostdt dz
x 
b 
y[c\cost 
b
db = bdt
: = bt
+ C,
Demak, vektor chiziqlarning parametrik tenglamasi quyidagicha 
bo'ladi:
x = JC\cost
y = ^Jc[smt
z — bt
+ C,
(
2
.
2
)
(1,0,0) nuqtada 
t
parametr nolga teng bo'ladi. (2.2) tenglamadan 
quyidagini olamiz:
i=Vc/,
0 = Vc/-0 • 
o=c
2
bundanC, = l, C, = 0 ni topamiz. Demak, vektor maydonning (1,0,0) 
nuqta orqali o‘tuvchi vektor chizigM vint chizig'idan iborat ekan (2.8 - 
rasm)
.r = cos 
t
y = sint
: = bt
Maydonning vektor chiziqlari vint chiziqlaridan iboratdir.^ 
Tayanch iboralar:
Vektor maydon, vektor maydonning vektor chiziqlari, vektor 
chiziqlaming differensial tenglamasi.
27
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Takrorlash uchun savollar
1. Qanday maydon vektor maydon deyiladi?
2. Qanday maydon stasionar vektor maydon deyiladi?
3. Vektor maydon bilan skalyar maydonning farqi nimada?
4. Qanday chiziqlar vektor chiziqlar deyiladi?
5. Nuqtaviy zaryadning vektor chiziqlari qanday boMadi?
6. Vektor chiziqlar qanday topiladi?
7. Yassi vektor maydonda vektor chiziqlari qanday topiladi?
8. Biror nuqtadan o‘tadigan vektor chiziq qanday topiladi?
9. Trubkasimon vektor sirt qanday sirt?
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1 .5 = {*,>} vektor maydonning vektor chiziqlarini toping.
2. 
u = x2- y 2
skalyar maydon gradientining vektor chiziqlarini 
toping.
3.
x- + y
skalyar maydon gradientining M(0,1,1) nuqtadan
o'tadigan vektor chiziqlarini toping.
4. 
a = - y l + xj + bk
vektor maydonning (1,0,0) nuqtadan o‘tuvchi
vektor chiziqlarini toping.
5. 
v 
tezlikda harakatlanayotgan nuqtaviy zaryad fazoda 
B = k [ v ,r ] !r 2
magnit maydonini hosil qiladi. Bu yerda 
r
kuzatish 
nuqtasidan zaryad joylashgan nuqtaga yo‘nalgan vektor, 
k
biror 
koeffitsiyent. Zaryad 
Oz
o‘qi bo‘ylab harakat qilayotgan bo‘lsa 
B
maydonning vektor chiziqlarini toping.
3. Vektor maydon oqimi
• 
Suyuqlikniitg oqimi masalasi.
• Oqim tushunchasi va uitiitg yozilish sltakllari.
• Oqintni hisoblash.
• Vektor ntaydon divergensiyasi.
• Yopiq sirt ho ‘yicha oqimning Jizik ma 'nosi.
• Ostrogradskiy - Gauss formulasi.
^
• 
Divergensiyaning invariant ta'rifi.
Bizga fazoda biror sirt berilgan boMsin. Odatda sirt yopiq yoki 
ochiq boMishi mumkin. Sirt ochiq yoki yopiq boMishidan qat'iy nazar
28
k
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

uning ikki tomoni bo‘ladi. Agar sirtning har bir nuqtasida birlik normal 
n(M)
vektor tanlangan bo‘lib u Mnuqtaning uzliksiz funksiyasi boMsa, 
bunday sirtni 
orientirlangan
deb ataymiz (3.1 - rasm). Lekin sirt har 
doim ham ikki tomonli boMavermaydi, masalan, Myobius sirti bir 
tomonli sirtdir [2]. Biz faqat ikki tomonli sirtlami qaraymiz.
Sirtga o‘tkazilgan normalning yo‘nalishi qarama-qarshi tomonga 
o‘tkazilganda sirtning orientasiyasi o'zgarganligini bildiradi va sirtning 
qarshi tomoni tanlanganligini aniqlaydi.
Vektor maydon oqimi tushunchasiga olib keladigan suyuqliklar 
oqimini ko‘raylik.
Fazoning biror qismida suyuqlik oqayotgan boMib, uning tezligi 
vaqtga bogMiq boMmasdan faqat fazoning nuqtasiga bo‘g‘liq boMsin: 
a = a( M) .
Biror orientirlangan o sirtdan tanlangan yo'nalish bo‘yicha 
oMadigan suyuqlik miqdorini (hajmini) topishni ko‘raylik.
Awal sodda holni ko‘raylik. Birlik normal vektori 
n
boMgan sirt 
tekis boMib, sirtning barcha nuqtalarida suyuqlik tezligi bir xil boMsin 
(3.2 - rasm).
Yassi sirtdan birlik vaqt ichida oMuvchi oqim miqdori asosi sirt 
yuzidan yasovchisi |a| boMgan silindrdan iborat boMadi. Agar 
a
bilan 
n
ning yo‘nalishlari mos kelsa suyuqlik hajmi 
\a\
ga teng
boMadi ( 3.2 - rasmning chap bo'lagi). Agar 
3
vektor bilan 
n
biror
burchak tashkil qilsa silindr balandligi 
\prAa\
=(|a,w|) = |a||«|cos^ ga teng 
boMib, suyuqlik hajmi |(a,«)| a ga teng boMadi. Har ikki holda ham 
suyuqlik hajmi |(5,/!)|-cr ga teng boMadi. Modul belgisini tashlab 
yuborsak 
(a,n)
miqdorga 
a
sirtdan o'tadigan suyuqlik oqimi deyiladi.
3.1. Suyuqlikning oqimi masalasi
3.1-rasm
3.2-rasm
29
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Agar 
a
bilan 
n
orasidagi burchak o‘tkir boMsa, suyuqlik 
n
vektoryo‘na- 
lishi bo'ylab oqadi deymiz; bu holda 
(a,n)>
0 va oqim suyuqlik miqdo- 
riga teng bo'ladi. Agar 
a
bilan « orasidagi burchak o'tmas boMsa.su- 
yuqlik 
n
vektor yo‘nalishiga teskari yo'nalishda oqadi deymiz va bunda 
(5,/l) <0 bolib oqim va suyuqlik miqdorlari ishoralari bilan farq qiladi. 
Agar 
a
bilan 
n
orasidagi burchak o‘zaro perpendikulyar boMsa suyuq- 
lik 
o
yassi sirt bo'ylab yo'nalgan boMadi va oqim nolga teng boMadi.
Endi umumiy holni ko‘raylik. Ixti- 
yoriy 
a
sirtdan o‘tadigan suyuqlik oqi- 
mini topish uchun sirtning yuzalari 
A
c
T|, A(
j
2, ...,A(rn ga 
teng 
boMgan 
qismlarga ajratamiz (3.3 - rasm). Har bir 
boMakdan ixtiyoriy 
Mk
nuqtani olamiz. 
Har bir boMakchadagi suyuqlik tezligini 
taqriban o‘zgarmas deb qaraymiz: 
a = a(Mk).
Shu bilan birga 
boMakchani yassi deb qaraymiz va 
n(Mk)
normal vektorga perpen- 
dikulyar deb olamiz. U hoida A
ak
boMakchadan o‘tadigan suyuqlik 
oqimi taqriban
Qha, ~{a(Mk),n(Mk))-Aak
ga teng boMadi. ToMa sirtdan o‘tadigan oqim esa
2 = 1
) MMk
)) • Aa*,
*=i 
*=i
ga teng boMadi. 
d =
maxjACT!,...,^^-,,} kichiklashgan sari aniqlik oshib 
boradi. Oqimning aniq qiymati esa
Q=)}™YXa(Mk),n(Mkj ) & o k
‘l~*0k
=1
limitdan topiladi. Bu limit (
a(Mk),n(Mk
)) skalyar funksiyadan olingan 
1- tur sirt integraliga tengdir. Shunday qilib sirtdan o ‘tadigan oqim
Q = jj(a,n)da = jja„da
 
(3.1)
<
j
 
formula orqali topiladi. 
,r
Quyidagilami nazarda tutaylik.
> agar 
Q>
0 boMsa, 
n
normal yo‘nalishi bo'yicha suyuqlik miqdori 
-n
yo'nalishdan o'tadigan suyuqlik miqdoridan ko‘p boMadi;
> agar 
Q<
0 boMsa « normal yo'nalishi bo'yicha suyuqlik miqdori 
-/1 yo'nalishdan o‘tadigan suyuqlik miqdoridan kam boMadi;
30
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

> agar 
Q
= 0 bo‘lganda #1 normal yo‘nalishi va unga qarshi 
yo'nalishlardagi suyuqlik miqdorlari teng boMadi.
(3.1) formuladagi integral (
a,n
) skalyar funksiyadan olingan 1 - t u r
sirt integralidan iborat. Bu integralni 
a
vektor funksiyadan olingan 2 - 
tur sirt sirt integrali deb ham yuritiladi. Ixtiyoriy vektor funksiyaning 
oqimi tushunchasi shu tarzda kiritiladi.