U dalaboyev vektor va tenzor
= § ( 5 , n ) - * r = j]Jj
Yüklə 12,45 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 3.10-rasm = JJ dxdy{az(x,y,z2(x,y)) - az(x,y,zt(x,y))} = = JJ
- 3.7. Divergensiyaning invariant tarifi
|
<0j>0
= § ( 5 , n ) - * r = j]Jj dar dav da. dx dxdydz. (3.5) c v — fy & , Bu formulada G - fazoning a yopiq sirt bilan chegaralangan boiagi; o tashqi normal bo'yicha orientirlangan sirt; 5 = {az,ay,ax} vektor koordinatalari va ulaming xususiy hosilalari bilan uzluksiz funksiyalar. Isboti. 1. G sohamiz elementar Hz ko'rinishda boisin (3.10 - rasm). Ya'ni G soha pastdan va yuqoridan mos ravishda a x \ zx = Zi(x,y) va a2: z2 = z2(x,y) sirtlar bilan, yon tomondan esa yasovchilari Oz o‘qiga parallel boigan a3 sirt bilan o‘ralgan boisin. Quyidagi integralni qaraylik: s2(x,y) I I = JI dxdy] ^ d z = JI dxdya, Zi(x,y) 3.10-rasm = JJ dxdy{az(x,y,z2(x,y)) - az(x,y,zt(x,y))} = = JJ az(x,y,z2(x,y))dxdy-jj az(x,y,zx(x,y))dxdy. ax sirtda cosy<0 boigani uchun a2 da dxdy=oosyda ax da esa dxdy=-cosyda boiadi. Shuninguchun JJ az(x,y,z2(x,y))dxdy - JJ az(x,y,zx(x,y))dxdy = a.(x,y,z)cosyda + JJ az(x,y,z)cosyda, 38 www.ziyouz.com kutubxonasi boMadi. Hosil boMgan yig‘indiga jja z(x,y,:)cosyda integralni qo‘shamiz. a3 sirtda cosy = 0 boMgani uchun jja 2(x,y,-)cosyda = 0. Shunday qilib, jjj^ -d x d y d z = jja.(x,y,z)cosyda + jja,(x,y,:)casyda + jja z(x,y,:)cosyda = a - = j j a;(x,y,:)cosyda = kelib chiqadi. 2. Endi umumiy holni ko‘raylik. Fazoviy G sohani n ta elementar n Hz turdagi sohalarga ajratish mumkin boMsin: G = (jG k. k*\ o-f*', a f \ a[k) simvollar orqali Gk sohani o‘rovchi a lk) sirtning quyi, yuqori va yon sirtlarini belgilaylik. U holda *=* G, Ct = X 1JJ arcos fd a + j j az cos yda + |J az cos yda i = cos yda *=1 [ a f ' sirtlar bo‘yicha integrallar yig'indisi a {k) sirt bo‘yicha olingan integralni beradi. Xuddi shuningdek, Hx va Hy ko'rinishdagi sohalar uchun . cos Pda\ JJJ ^-Z-dxdydz = JJa., cos a d a \ G ^ a G a formulalarga kelamiz. Topilganlarni qo'shsak formulanng isboti kelib chiqadi. Ostragradskiy - Gauss formulasini quyidagicha ham yozish mumkin: Q = JJJ divadxdydz a G 1- misol. a=(3:7 + x)T+(e* -2y)]+ (2: - xy)k vektor maydonning yo- p iq o : jtj + y 7 = : 7, : = 1, r = 4 sirtdan o‘tuvchi oqimini toping (3.11 - rasm). > Sirt yopiq boMganligi uchun Ostrogradskiy-Gauss formulasidan foydalanamiz. A w al berilgan maydon divergensiyasini hisoblaymiz: diva = 1 - 2 + 2 = 1. 39 www.ziyouz.com kutubxonasi Demak, Q = JJJ divadV =JJJ dV=V G G Bu yerda Fkesik konus xajmi. 3.11 - rasm 3.12 - rasm V = i/r(/?,2 • /i, - R] ■ h,) = ■ 4 - 1J • l) = 2br ◄ 2- misol. a = {2x,:,y} vektor maydonning koordinata tekisl iklari va 3x+2y+: = 6 tekislik bilan chegaralangan piramidaning to‘la sirtidan o‘tuvchi oqimni toping (3.12 - rasm). D> Sirt yopiq boMgani uchun Ostragradskiy - Gauss formulasidan foydalanamiz. O = J[J divadV = JJ[(2 + 0 + 0 )dV = IV ^ 3-misol. a=x2T+y2j + :2k vektoming x2+y2+:2=R2, :=0, (:> 0) yopiq sirt bo‘yicha vektor maydon oqimini toping. t> (3.5) formulaga asosan Q=jjj(2x+2y+2:)dV V Bu integralni r ,0 , sferik koordinatalar sistemasida hisoblash qulaylik tug‘diradi, ya’ni x =rsin0cos elementar hajm esa dV = r2 sin 8drdQd Shuning uchun 40 www.ziyouz.com kutubxonasi Q~2 JJJ (/sin0cosp+/-sin0sinp+rcos0)/-2sin0= r X 1 * 1 « =2 J cfy/jsinr l dr = ^ 0 r,4 a = (x + 4d)i' + (3r-y)y' + 2r£, 5 : | 2 — J dtp j cosflsini 9 d d = ~ . 4 0 0 2 4-misol. a vektor maydonning yopiq S sirt bo‘yicha olingan oqimini toping. r = 2 -3 (* 2 + y2), (r2=jt2 + y2,(r>0). t> Ostrogradskiy - Gauss formulasidan foydalansak, Bu yerda jism hajmi. S sirt bilan o‘ra!gan jism hajmini topamiz. 3.13 - rasmdan ko‘rinib turibdiki, S sirt r 2 = jr2 + v2 konus (z > 0) va paraboloid sirtlarining qismlaridan iborat. Shuning uchun = Jf (2 - 3(x2 + / ) - V T 7 7 ) ^ v bo'ladi. Bu integralni hisoblash uchun D doiraning radiusini topish kerak. Bu radius quyidagi siste- madan topiladi. [r = 2 - 3(.r2 + „v2), 3.13 - rasm r = V ? +y Bu sistemadan R = 2/3 kelib chiqadi. ni qutb koordinatalar sistamasigao‘tibyecham iz(0<^<2;r, 0 £ r< 2 /3 ). 2 i 2/3 V '~ \ d 9 \(2 -y i> -r )r d r ~ — x . A n O * 41 www.ziyouz.com kutubxonasi Demak, Q=2VU = — n . M '“ 81 5-misol. a = jct 2/ + yx2j + r\’7k vektor maydonning *J+ y + r J =aJ shar sirti bo'yicha uning tashqi tomoniga oqimini hisoblang. [> Sirtyopiq boMgani uchun a vektor maydonning sharsirti bo'yicha tashqi tomoniga oqimi Q ni Ostrogradskiy-Gauss formulasi bo'yicha topamiz: Q = jj(a,ii)da = jjjdivadxdydz = JJJ" (z1 +x! + .v! )dxdydz. tr O G Uch oMchovli integralni hisoblash uchun quyidagi formulalar yordamida sferik koordinatalarga o‘tamiz: Jt = rsin0cosp, • v = rsin0sinp, buerda 0 0£y>£2x, 0 < 6< n, z = rcos 64 vaquyidagini topamiz dxdydz = r1 sin0■ dr ■ d u holda Q = j j ( a,it>jdo = j j j diva • dxdydz = JJJ (r! + x1 + y 1 )dxdydz = c n n «1 x 2 m m 5 = JJJr 4 sin ^ • drddd = J r 4d r j sin ddd jd n o o o ^ 6-misol. Tezligi v = {x+ y ,z-x ,z } ko‘rinishda boMgan suyuqlikning x2 + y 2 = z2 (0 < r < 4) konusning yon sirtidan tashqi normal yo'nalishi- dagi oqimini toping (3 .1 4 - rasm). [> Konusning yon sirtidan o‘tadigan oqimni uning toMa sirtdan o‘tadigan oqimdan konus asosidan oMadigan oqimlar ayirmasi sifatida qarash qulaydir. ToMa sirtdan oMadigan oqimni Ostragradskiy - Gauss formulasidan topamiz Qioic= jjjdwvdV = JJJ^ d(x + y ) cx d{z-x) + dz_ dx dx dV = n , t = 2 jjjdV = = 2 • X - x R 2h = y • 4! ■ 4 = ^ . Suyuqlikning konusning asosidan oMadigan oqimni = JJ v • «4s formu- ladan topamiz. Konusning asosidagi birlik vektor « = {0,0,1} ga teng. Shuning uchun (v,«) = ( jc + y) • 0 + (r - x) • 0 + r • 1 = r bo'ladi. Konusning asosida r = 4 42 www.ziyouz.com kutubxonasi boMgani uchun (v,«) = 4 boMadi. Demak, fiL. = Jf v • nds = 4 JJ ds = r c J CM I k’ «JOI Bu yerda radiusi 4 ga teng boMgan doira yuzidan iboratdir. Shunday qilib, Q ^= A nR 2 = n ~ 128* 64 = Q,oi* -Qoso, ---- 3----64* = - — n. Q>vn < 0 ekanligi konus yon sirtidan tashqariga chiqadigan suyuqlik miqdori shu sirt bo‘yicha kirayotgan suyuqlik miqdoridan kamligini ko‘rsatadi. Demak, oqim - ^ p * ga tengdir. 4 3.7. Divergensiyaning invariant ta'rifi Fazoda Mnuqtani olib uni yopiq sirt o bilan o‘raylik (3.15 - rasm). Ostragradskiy - Gauss formulasi yordamida 3 vektoming yopiq sirt bo‘yicha oqimini hisoblaylik Q = <^(3,n)dc = jJJ di vadv Uch karrali integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qoMlasak, 2 = (div3)^-K=*(diva ) ^ = £ . Bu yerda M V sohadagi biror nuqta. Oxirgi tenglikda V sohani M nuqtaga yaqinlashtirib (siqib) limitga o'tamiz (M nuqta M nuqtaga yaqinlashadi): (3.6) (diva). = lim — V 'M V->M V 3.15 - rasm Shunday qilib, divergensiyaning invariant ta'rifiga keldik. 3.7.1 Divergensiyaningfizik ma 'nosi a vektor maydon suyuqlikning tezliklar maydoni boMsin. Oqim Q V hajmdan chiqayotgan suyuqlik miqdori bilan V ga kirayotgan suyuqlik 43 www.ziyouz.com kutubxonasi miqdorlarining ayirmasiga teng. Agar Q > 0 bo‘lsa, V sohadan chiqayotgan suyuqlik miqdori kirayotganga qaraganda ko‘p boMadi. Bunda V ichida suyuqlik manbasi rnavjud bo‘ladi. Q/V miqdor birlik vaqt ichida birlik hajmdan chiqadigan suyuqlik miqdoriga teng boMadi. Bunga Fhajmdagi manbaning o'rtacha q u w a ti deyiladi. Quyidagi miqdorga manbaning M nuqtadagi quw ati deyiladi. Agar Q < 0 V sohaga kirayotgan suyuqlik miqdori chiqayotganga qaraganda ko‘p boMadi, bunday holatda V ichida qurdumlar mavjud, ularning quvvati \Q!V\ ga teng boMadi. miqdor M nuqtadagi qurdumning quvvatini beradi. Shunday qilib: • diva(A/)>0 boMsa, M nuqtada manba boMib uning quvvati diw?(A/) ga teng boMadi, • divfl(A/) < 0 boMsa, M nuqtada qurdum boMib uning quvvati |div«(A/)| gateng boMadi, • divf?(A/) = 0 boMsa, M nuqtada manba va qurdum mavjud boMmaydi. 1 -misol. div(/(r)r) = 3/(/•) + rf'(r) ekanligini isbotlang. D> Divergensiya xossasiga ko'ra div(/(r)r) = / (r)divr + (r,grad/(r)) Gradient xossasiga ko‘ra grad/(r) = /'(r)gradr = /'(/•)- kelib chiqadi. 2 -m iso l. q zaryadning kuchlanganlik maydonining divergensiyasi nolligini ko‘rsating. > Kuchlanganlik maydoni f = -^-r ga teng boMadi. Oldingi lim — = diva(A/) V Yüklə 12,45 Kb. Dostları ilə paylaş:
|