U dalaboyev vektor va tenzor

L
L 
chiziq S sirtdayotganligi uchun 
: = 
:(x,y) 
munosabat 
L 
chiziqda 
ham o‘rinli. Unda
/| = j a x(M)dx =  ax (x, y, :(x, y))dx
L 
L
o‘rinli boMadi.
54
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

/, integralda (4.4) Grin formulasidan foydalanamiz ( bizning holda 
«
v
(
jc
,
j
O = 0 )
ax{x,y,:{x,y)) = ax(x,y) 
belgilash kiritaylik. 
M(x,y,z(x,y))
nuqta 
L 
kontur bo'yicha harakatlanganda uning proeksiyasi 
N(x,y)
nuqta 
D„ 
sohaning / chegarasi bo‘ylab harakatlanadi. Demak,
Murakkab funksiyadan hosila olish qoidasidan foydalanib 
5x(x,y)
funksiyadan 
y  
bo‘yica hususiy hosila olamiz: —
ay 
8y 
oz cy
Unda,
(4.5)
tenglik o‘rinli bo'ladi. — hususiy hosilani S sirtga o‘tkazilgan ort orqali 
8y
ifodalash mumkin:
* = - £ 2 ! £ .
(4.6)
8y 
cosy
Haqiqatan ham, 
S 
sirt tenglamasi 
F(x,y,z) 
=
0 oshkormas funksiya 
orqali 
berilgan 
bo'lsa, 
uning normali 
ortining koordinatalari
w°(A/) = <
i={cosar,cos/?,cosy} 
bo‘ladi. 
U 
holda
m
N H J
A
p
fi
— = —
>L=~SSltL
o‘rinli boMadi. Bundan tashqari, 
dxd\> =
cos
yds
8y 
F*x
cos 
y
55
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

bo'ladi. (4.6) ifodani (4.5) ga qo‘yamiz. Natijada (4.5) ikki karrali 
integralni 1- tur sirt integrali aylantirish mumkin:
rt(8a, 8 a 8:\
[ [ ( 3a, dayCosfi^
r r f d a .
3ax 
^ j
Shunday qilib, quyidagi formulaga keldik:
/, =(4.7)
Agar 
S 
sirt 
Ox 
o‘qiga perpendikulyar boMgan tekislikda yotsa 
S 
sirt- 
da 
dx 
= 0,cos/3 = cosy = 0 
boMadi va (4.7) formula avtomatik ravishda 
bajariladi.
Xuddi shu yo‘1 bilan
/2 = ^ a v(A/)(4.8)
( Bu yerda Grin formulasini 
Oxz 
tekisligiga proeksiyalanganidan 
foydalanildi).
/3 = < Ja.(A /)d t= JJ^^co sa-^I-cos/?jd!s. 
(4.9)
formulalarga kelamiz.
(4.7), (4.8) va (4.9) formulalami qo‘shib, chiziqli va sirt integral- 
larning chiziqlilik xossasidan foydalanib (4.3) formulaga kelamiz: 
j>a,(x, y,:)dx + ay(x, y,:)dy + a .(x,y ,:)± =
[r\(8a 
da ) 
f 8a 
8a. ) 
„
* #
- * r a \ - s t - £
J c“ /,+
oax
8y
cos y ds
Teorema isbot boMdi.
Stoks formulasini vektor ko‘rinishda quyidagicha yozish mumkin: 
j(a,d?) =
JJ(rota,«)d!s
/. 
s
Orientirlangan 
S 
sirt bo‘yicha vektor maydon uyurmasining oqimi 
vektor maydonning 
S 
sirtga tortilgan 
L 
kontur bo‘yicha sirkulyatsiya- 
siga teng 
(L 
kontur orientatsiyasi 
S 
sirt orintatsiyasiga qarab olinadi).
1 
-misol. a = (20x* + \): I - 5 y j + 4x* k 
maydonning 
y = 
4 tekisli-
gida joylashgan 
x2 + : 2=9
aylana bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping 
(yo‘nalish 
Oy
o‘qi oxiridan qaraganda soat meli yo‘nalishiga qarshi 
orientirlangan) (4.8 — rasm).
D> 
Sirkulyatsiyani bevosita yechish ancha murakkab. Stoks formu- 
lasidan foydalanib yechamiz. Buning uchun maydon rotorini hisoblaymiz
56
www.ziyouz.com kutubxonasi

---