U dalaboyev vektor va tenzor

7
7
k
rot3 =
d
d
d
dx
8y
&
( 2 0 / + l ) r
-5 
y
4x*
=
/ ( 0 - 0 ) - 7 ( 2 0
jc
4 - 2 0 / - 1) + * ( 0 - 0 )
=
j .
Stoks formulasiga ko‘ra 
C = j>(a,dr) =
L 
S
Aylanaga tortilgan 
S
sirtsifatida shu aylana bilan chegaralangan 
doirani 
olamiz. 
Bu 
sirtga
o‘tkazilgan normal vektor 
Oy
o‘qi 
bo‘ylab yo‘nalgan, ya’ni /? = y. U
holda (rota,«) = 
j ■ 
y =|7f va
C = JJ(rota,/?)<& = jjcfc = S = ;r/?2 =9 n.
s
s
◄
2-misol. 3
maydonning 
L
kontur bo‘yicha olingan sirkulyat- 
siyasining modulini hisoblang (4.9 - rasm).
a = 
-4 y -J
+ \0 : - ] - 2 x 2-k, L : \X 
=.4’
2* + r = 4.
D> Sirkulyatsiya moduli orientatsiyaga bog‘liq emas. Shuning uchun
boMadi. Tekislik tenglamasidan 
z ■
Shunday qilib,
orientatsiyani 
ixtiyoriy 
olish 
mumkin. 
L
kontur /
+ y - 4
silindr 
va 
z=4-2x
tekislikning kesishi- 
shidan hosil boMgan ellipsdan ibo- 
rat. Sirkulyatsiyani bevosita va 
Stoks formulasidan foydalanib hi- 
soblaymiz.
\-usul. L
kontuming paramet- 
rik tenglamasini tuzamiz. Kontur- 
ning 
xOy
tekisligidagi proeksiyasi 
x7 +y7=4
aylanadan iborat boMgani 
uchun x=2cos/, y=2sin/, 
0< t< 2n
4-4cosf boMadi.
57
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

L.
x
= 2cosf, 
j- = 2sinf 
= 4-4cosf 
QZtZ2x.
Sirkulyatsiya formulasidan
2x
# = ^ ( 5 , ^ ? ) = J
[-4-2sinf(2cosf)' + I0(4-4cosf)(2sinf)'-
i
 
o
2*
-2(2 cos f )3 (4 - 4 cos f 
)']dt
= 
J
(16 sin
21
+ 80(cos 
t
- cos2 f) -
0
2x 
2 r
-32cosJfsinf)<(f = 8 j (l-cos2f)<# + 80j cos 
tdt-
i *
iM
-4 0 j(l + cos2f)rff + 32 
J cos2tdtcost
=
32
= (8f -4sin 2f + 80sinf - 40f - 20sinf + — cos3f)
2;r
0
= -64 
n
.
2-usul.
Sirkulyatsiyani Stoks formulasi yordamida topamiz 
(a,dr) = 
J J ( r o t a , ii)dS,
L 
S
bu yerda 
S L 
ellipsning ichki tomoni. 
S  
sirtdan o‘tadigan 
b 
= rota vektor 
oqimini topamiz.
' 
7 
j
k
b 
= rota =
d_ 
8_
dx 
dy 
8z
-4 y  lOr —2x2
= -10/ + 
4xj
+ 
4k
= {—10;4
jc
;4>;
« = { —- 1 ; —- j ,; 1} = { —2 ; 0 ; l } .
U holda,
JJ(M )dS = JJ(6.
-b'Z'I - b / f )dxd}:;
S
U
\\{b,n)dS
= JJ(4- (-10X-2)-
4x
• 0
)dxdy
= -16jJ
dxdy
= -64* ◄
58
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

4.6. Rotorning invariant ta’rifi
Maydonning rotorini
j
d_
dy
k
8_
ct
ko‘rinishda aniqlash dekart koordinatalar sistemasidagina o‘rinlidir. 
Stoks formulasi rotoming invariant (koordinatalar sistemasiga bog'liq 
boMmagan) ta'rifini berishga imkon beradi.
a = a(M) 
Stoks formulasini qanoatlantiruvchi vektor maydon 
bo'lsin; 
n
vektor 
M
nuqtadan o‘tuvchi birlik vektor boMsin. Stoks 
formulasiga ko‘ra (4.10- rasm):
j>(a,dr)
= 
jfe(xoia,d&)
= ^
prjoiada.
L 
o
o
0 ‘rta qiymat haqidagi teoremaga ko‘ra shunday 
A/, nuqta mavjudki unda p rjro ta^ A /^ a^ ta,^ )
L
j>(a,dr)
boMadi. U holda 
prnrota(A/,) 
= -^--------. 
L
kontumi
c
M
nuqtaga qisib boramiz, unda 
M{-> M 
va 
j(a d r) 
j(a,dr)
prarota(A/)= lim-------- boMadi. --------- munosabatga 5 maydon
L-+M
<7
c
sirkulyatsiyasining 
n 
yoMialishdagi zichligi deyiladi. Sirkulyatsiya 
zichligining eng katta qiymati 
|rota| 
ga teng boladi va bunga 
a 
va « 
vektorlaming yo‘nalishlari mos kelganda boMadi. Shuning uchun 
rota
vektorning 
n 
yo‘nalishdagi proeksiyasi koordinatalar sistemasini 
tanlanishiga bogMiq emas. Natijada rotoming invariant tarifiga kelamiz.
a vektor maydonning 
M
nuqtadagi rortori quyidagi shartlami 
qanoatlantiradi:
• rota ning yo‘nalishi shundayki, unda 
a
vektor maydonning 
M
nuqtadagi zichligi eng katta boMadi;
• rota ning miqdori a vektor maydon sirkulyatsiya zichligining eng 
katta qiymatiga teng.
4-10 rasm.
59
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

va u 
L
kontumi siqishdan olingan sirkulyatsiya zichligiga teng 
(L
kontumi o ‘ragan yuza n yo‘nalishga perpendikulyar).
4.7. Rotorning fizik manosi
Qattiq jism o‘zgarmas 
m 
burchak tezlik bilan aylanayotgan bo‘lsin. 
Qattiq jism nuqtalarining tezliklar maydonini va shu maydonning 
rotorini topaylik.
Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki unda 
Oz
o‘qi 
jismning aylanish o‘qi bilan mos kelsin (4.11.- rasm). Kinematikadan 
ma'lumki, 
M  
nuqtaning tezligi v = [r 
nuqtaning 
radius vektori: 
r= {x,y,:}, 3
-
burchak tezligi vektori 
3 = eok = {0,0,eo}.
Tezliklar maydonini topamiz:
v=[3,r} =
t j k