U dalaboyev vektor va tenzor

(fi'C
 
)|( = SnSn 
+ 
SI2SI2
 + Sl%
Si~
 = SimStm = 
sa
ekanligi kelib chiqadi. Qolgan elementlar uchun shu kabi tengliklar 
o‘rinli boMadi. detCr = detC va det(fi-C') = detS detCr tengliklardan 
(10.5) ning o‘rinliligi kelib chiqadi. ◄
Misol. e ^ e ^
= 
SimSJtl - SlnSim
tenglikning o‘rinliligi isbot qilinsin.
D> Oldingi misol natijasidan foydalanamiz. / indeksni 
k
indeks bilan 
almashtiramiz:
S *
S ,m
—
S , L
S m
s m
jk
jm
J»
S km
S *
Determinantni yoyib 
S,±
=3 ekanligini inobatga olsak,
£ i/L £ kitm
 = 
S
J S
^ — S ^ S ^ S p
 + 
S ^ S p S u —
smSj/A
, +W L -
stA S Jm=smsjn - su,sjm.
◄
Misol. 
e^e^
ikkilangan yig‘indini hisoblang. 
t >
sIJkEkmi=SmSJn- S mSjm
tenlikdan foydalanamiz. Bu tenglikda indeks 
m-¥ j
ni almashtirsak,
s
i 
= S S ~~ S S
~
S
— 3
S
— * 2 < J
b ijk*lf*
“
“
u m 
J u m
boMadi. Uchlangan yigMndi uchun esa 
sllkeIJk = efJk = 6
ekanligini ko‘rish 
qiyin emas. ◄
Levi-Chivita tenzori invariant tenzor hisoblanadi:
£ ,jk ~ a i*a jn a U£ m*l ~ £ ijk'
Haqiqatan ham,
£ijk ~ ai*ajmaU£«mt ~
«■> 
an an ¥ai
3
a „ak2
+ «,
2a ,iakl ~ a,2a„ak}~
an
a,2 a,i
i
__
i
n
? ])•
~a,xa,iaki~a
ii

aji
ak
1
ak2 ak}
Bu tenglikdan, agar
lar o ‘ng bazisni tashkil
=(e|,[?2,e3]) = l boMishi kelib chiqadi. Aralash ko‘paytmaning 
quyidagi xossalarini:
•Aralash ko‘paytmada ikki vektor o‘rni almashganda ishorasi 
o‘zgaradi;
113
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

•Aralash ko‘paytmaning ixtiyoriy ukki vektori mos kelsa u nolga 
teng bo‘ladi;
inobatga olinsa ( ^ .[ e } ,^ ] ) * ^ kelib chiqadi.
Shunday qilib, Levi-Chivita simvoli invariant tenzor ekan.
10.2. Vektor koordinatalarining inversiyada almashishi
Inversiya jarayonida koordinata sistemasining ortlarining yo‘nalishi 
teskarisiga almashadi:
ko‘rinishda boMadi. Inversiyada e„e2,c3 o‘ng sistema chap sistema bilan 
almashadi:
Bunday almashtirishning o‘ziga xosligini quyidagi misolda 
izohlaymiz. Uchta 5 = {l,2,l}, 
b
={2,1,2}, va 
c = {3,0,-3} vektorlami 
qaraylik. [a,£] vektor ko'paytmani topaylik:
ya’ni [«,*] = {3,0,-3}. Shuning uchun [a,£] = c boMadi. Koordinatalar 
sistemasini inversiyaga almashtiraylik:
teng boMyapti. Inversiyadan so‘ng bu tenglik o‘rinIi boMmayapti.
Demak, bundan ko‘rinadiki, [a,£] va c vektorlar inversiyadan 
so‘ng o ‘zlarini har xil tutar ekanlar.
Inversiyada koordinatalami almashtirish matritsasi
0 
0 ’
aB=
0 -1 0
,0
o -1,
(
10
.
6
)
([«„c2],c3) = h => ([e|,?3],?3) = - l .
114
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

T a’rif. Agar koordinatalar sistemasining inversiyasida vektor o ‘z 
yo'nalishini o‘zgartirmasa (koordinatalari ishorasini o‘zgartiradi), 
bunday vektorga qutb vektor deyiladi. Agar inversiyada vektor o‘z 
yo‘nalishini teskarisiga almashtirsa (koordinatalari o‘zgarmasa), aksial 
(psevdovektor) deyiladi.
Bizning misolda 
3, b
va 
c
vektorlar qutb vektorlar. [<2,£] aksial
vektordir. Fizikada qutb vektorlarga siljish vektori S, tezlik vektori v, 
tezlanish vektori 
3 va F
kuch vektor va h.k.lar misol bola oladi. Ikki 
qutb vektoming vektor ko‘paytmasi aksial vektor boMgani uchun impuls 
1
= [r,/wv] va kuch 
K
= [ r , f ] momentlari aksil vektordan iborat boMadi.
10.3. Tenzor miqdorlarning inversida almashishi
Ortogonal almashtirish matritsasi uchun deta = +l boMsa, birinchi 
tur almashtish deyilishi aytilgan edi. deta = - l bo‘ganda ikkinchi tur 
almashtirish deyilib, bunday almashtirishlar sistemani burish va 
inversiyalash jarayonida ro‘y beradi.
Psevdovektor tushunchasi kabi psevdotenzor tushunchasi kiritiladi.
T a’rif. Agar uch oMchovli fazoda 
3R 
miqdorlar ortogonal 
koordinatalar sistemasini burishda eski va yangi bazislarda
00.7)
T' . =deta a,ka . •
qoida bo'yicha bogMangan boMsa, bunday miqdorlarga 
R- rang
psevdotenzorlar
deyiladi.
Psevdotenzorlaming almashish qonuni deta = 1 boMganda oddiy 
tenzorlardan farq qilmaydi.
Psevdotenzor uchun amallar quyidagicha kengaytiriladi:
>
Bir xil rangdagi psevdo tenzorlami qo'shish mumkin, 
natijada shu rangdagi tenzor hosil boMadi.
>
Tenzomi psevdotenzorga ko‘paytirish mumkin. Natijaviy 
tenzor rangi ko‘paytuvchi tenzorlar ranglari yigMndisiga teng boMadi.
>
Psevdotenzorlami juft indeksi bo‘yicha yigMshtirish mumkin. 
Natijaviy tenzor rangi berilgan psevdotenzor rangida 2 birlik kam 
boMadi.
l-misol.
Dekart koordinatalar sistemasini z o‘qi atrofida 90° ga 
burish va inversiyalash natijasidagi almashtirish matritsasini toping.
115
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

0 Izlanayotgan matritsa inversiya 
cp
burchakka burish