Umumiy matematika

(4)- formula Binom formulasi deyiladi.

3.2- §. Kasr va manfiy ko’rsatkichli binom formulasi
SHu narsani aytishimiz kerakki (4)-formula Nьyo`tonga ham ma’lum edi. Bu yo’nalishdagi ishlar o’rta Osiyolik olim G’iyosiddin Jamshid al-Koshiy (1420 yy.) asarlarida uchraydi. Nьyo`tonning xissasi shundaki u (4) ni manfiy va kasrli ko’rsatgichlari bo’yicha isbotlab beradi. Lekin aniq isbotlab bermagan. Bo`tun musbat ko’rsatgichli sonlar uchun Yakobь Bernulli tomonidan isbotlangan manfiy va kasrli ko’rinishlar uchun (4) formula quyidagicha yoziladi.

Bu yerda

(8) formulani isboti.


funktsiyani ko’rib o’tamiz. Faraz qilaylik bu funktsiya quyidagiko’rinishda ifodalangan bo’lsin.

Bu yerda . noma’lum koeffitsienlardir. Koeffitsienlarni aniqlash uchun (9) dan xosilalar topamiz


x=0 da (9) va (10) dan quyidagilarni topamiz

Endi bu funktsiyadan xosilalar

da quyidagilarni topamiz.





_{ } (12)

(12 ) va (11) lani qo’yib quyidagini topamiz

_{ } (13)

(13) va (9)ni kuyib kuyidagilarni topamiz.

ixtiyoriy son bo’lgani uchun unda _{ }gacha o’zgartirish kiritamiz.

Α N sonlarda _{ } shunday qilib

olamiz.
Endi _{ } shundan

olamiz (8) formula isbotlandi.

Masalan:

1. 
   Nьyo`ton Binomi formulasi bo’yicha yoyib chiqamiz.