Umumiy matematika

Mustaqil topshiriqlar

1. 
   Binom formulasi bo’yicha yoying.
   

a) (1+x)⁶ ; b) (x+3)⁵; v) (x-1)⁷;

g) (a-b)^m ; d) (2-a)⁸ ; ye) (3x+4y)⁶;

yo) j) (3a²-2b²)⁶

2. 
   Yoyilmaning 6-hadini toping
   

3. 
   Yoyilmaning eng katta hadini toping.
   

4. 
   yoyilmada o’zida x ni tashkil qilmagan hadini toping.
   
5. 
   (8) -formula bo’yicha funktsiyani yoying.
   
6. 
   (8)- formula bo’yicha funktsiyani yoying.
   
7. 
   (a+b+c)² uchun formula tuzing.
   
8. 
   uchun formula tuzing.
   

IV – BOB. BIRLASHMALARNING TADBIQI
4.1-§. Takrorlanmaydigan birlashmalarning tadbiqi.
Matematikaning bir to`plam elemaentlaridan, talab qilingan shartlarni qanoatlantiruvchi xar xil birlashmalarni (kombinatsiyalarni) tuzish haqidagi masalasini o`rganish sohasi kombinatorika deyiladi.

Ba’zi kombinatorika ehtimollar nazariyasiga kirish deb qaraladi, chunki kombinatorika usullari ehtimollar nazariyasi hodisa voqealarni biror aniq xolatda o`rganishda muxim ahamiyatga ega. Ehtimollar nazariyasida “birlashma” (kombinatsiya) deb aytishning o`rniga “tanlanma” deb aytish qabo`l qilingan. Kombinatorikada tanlanma o`rinlashtirish, o`rinalmashtirish, gurppalash (guruhlash) ko`rinishda qaraladi.

Kombinatorikaning masalalarini yYechishda yordam beradigan ikkita umumiy qoidasini ko`rib o`tamiz. 1) qo`shish qoidasi 2) ko`paytirish qoidasi.

Qo`shish qoidasi. Agar biror A narsani m usul bilan B narsani k usul bilan (lekin xuddi A kabi emas) tanlash mumkin bo`lsa, u holda “yo A narsani yoki B narsani” m+k usul bilan tanlash mumkin.

Masalan. Yashikda n ta har xil rangdagi sharlar bo`lsin. Ixtiyoriy ravishda bitta shar olinsin. Necha xil usul bilan buni bajarish mumkin? Albatta n usul bilan.

Endi bu n ta sharlarni 2 ta yashikka joylashtiraylik: Birinchida m ta sharlar, ikkinchida k ta sharlar bo’lsin. Ixtiyoriy ravishda birorta yashikdan 1 ta shar olaylik. Buni nechta har xil usullar bilan bajarish mumkin? Birinchi yashikdan m ta har xil usul bilan shar chiqarish mumkin, ikkinchi yashikdan k ta ыar xil usul bilan shar chiqarish mumkin. Hammasi bo`lib m+k ta usul bilan bittadan shar chiqarib olish mumkin.

Ko`paytirish qoidasi. Agar biror A narsani m usul bilan tanlab so`ngra B narsani k usul bilan tanlash mumkin bo`lsa, u holda bir juft A va B narsalarni mk usulda tanlash mumkin.

Masalan: faraz qilaylik berilgan tыplam n=m+k elementdan iborat bo`lib ikkita qism tыplamga ajratilgan bo’lsin; ulardan birida m ta elementlardan, ikkinchisi k ta elemaenlardan iborat bo’lsin. Endi har bir qism tыplamdan bittadan elementni bir-biriga bog`liq bo`lmagan holda tanlab olinsin. Bunday tanlab olishda nechta juft-juft elementlar xosil bo`ladi?

Bu savolga quyidagi jadval javob beradi.

k ta ustun

Bu jadvalda hammasi bo`lib mk ta bir-juft narsalar joylashgan, chunki har bir qatorda k-tadan juft-juft narsalar joylashgan. Shunday qilib bu jadvaldagi juftlar sonini N desak u xolda

N= mk (1)

bo`ladi

Faraz qilaylik p ta

elementlar berilgan bo’lsin. Bu elementlar tыplamdan xar biri r elementdan iborat bo`lgan (0

a, b, c

elementlaridan quyidagi 2 tadan tanlanma-o`rinlashtirishlar tuzish mumkin

ab ba ca ac bc cb

Bunday tanlanmalar soni 6 ta bo`ladi va ular bir biridan yo element bilan yoki elementining kelish tartibi bilan farq qiladi.

To`rtta

a, b, c, d

elementlardan 3 tadan tuzilgan tanlanmalar 24 ta bo`ladi. Ular quyidagicha

abc dac cab dab

yuqorida ko`rib o`tilgan tanlanmalar o`rinlashtirishlar deb ataladi.

Shunday qilib n ta elementdan m tadan tuzilgan tanlanmalar bir-biridan yo element tartibi bilan yoki elementning joylashish tartibi bilan farq qilsa, bunday tanlanmalar n ta elementdan m tadan tuzilgan o`rinlashtirishlar deyiladi.

O`rinlashtirishlar soni deb belgilanadi, masalan; yuqoridagi misollarimizda

Umumiy xolda n ta elementdan m tadan tuzilgan o`rinlashtirishlar soni hisoblashni ko`rib o`tamiz.

Bizga n ta element berilgan bo’lsin. Birinchi elementni n ta usul bilan tanlash mumkin. Ikkinchi elementini qolgan (n-1) ta elementdan (n-1) ta usul bilan tanlash mumkin.

U xolda (1) formylaga asosan ikki elementli juftlarni

n(n-1)

usulda tuzish mumkin. Uchinchi elementni qolgan (n-2) ta elementdan tanlashga to`g`ri keladi. Buni (n-2) ta usul bilan tanlash mumkin. Bu holda (1) formyla bo`yicha elementlarning uchliklarini

n(n-1)(n-2)

usulda tuzish mumkin.

Xuddi shunday to`rtliklarni

n(n-1)(n-2)(n-3)

usulda tuzish mumkin.

Nihoyat n ta elementdan m tadan tuzilishni o`rinlashtirishlar soni

(2)

formyla bilan hisoblanadi.

Agar (2) formulada bo`lsa, u holda o`rinlashtirishlar bir-biridan faqat elementlarining joylashish tartibi bilan farq qiladi va bunday o`rinlashtirishlar o`rinalmashtirishlar deyiladi.

O`rinalmashtirishlar soni deb belgilanadi va

(3)

formula bilan hisoblanadi.

Hayotda (ya’ni amalda) tanlanmada hamma vaqt elementlarning joylashtirish tartibi muxim emas. Masalan, agar shaxmat bo`yicha respublika birinchiligi uchun yarim finalda 20 ta o`yinchi qatnashsa, finalda esa ulardan faqat 3 tasi qatnashishi mumkin, u xolda qatnashuvchi uchun uchtadan birinchi joyini egallashning farqi yo`q, chunki yarim finalda uchinchi joyni egallagan o`yinchi finalda birinchi joyni egallagan xolat bo`lgan.

Agar final uchun uchlikni necha usul bilan tanlash mumkinligi talab etilsa, u xolda 20 elementdan 3 ta tuzilgan tanlanmamizdan faqat bir-biridan kamida bitta element bilan farq qiladiganlarini hisoblash kerak. Bunday holatda tartiblanmagan gurppa (gurux) tanlamaga ega bo`lamiz.

Endi n ta elementdan m tadan tuzilgan gruppalash (guruxlash) lar soni

(4)

formula bilan xisoblanadi.

Bu (4) formulani shaxmat o`yinchilariga tatbiqlab tuzish mumkin bo`lgan final o`yinchilarini sonini aniqlaymiz.

yuqorida (2), (3), (4) formilalar extimollar nazariyasida tasodifiy hodisalar, (ya’ni sinov yoki kuzatish)natijalari sonini aniqlashda tadbiq etiladi.

1-masala. Fo`tbol bo`yicha musaboqaga 18 ta komanda qatnashmoqda. Musobaqa g`oliblari oltin, kumush va bronza medali bilan mukofatlanadi. Komandalarga medallar necha xil usul bilan taqsimlanishi mumkin?

Yechish. Masala yechimi (2) formula bilan hisoblanadi.

2-masala. Mashg`ulotda 12 ta basketbolchi qatnashmoqda. Trener har xil beshlik o`yinchilarni nechta usul bilan tuzish mumkin?

Yechish. Masala yechimi (4) formula bilan hisoblanadi

3-masala. Shaxmat taxtasida 8 ta to`ra (rux)ni bir-birini olmaydigan qilib nechta usul bilan tuzish mumkin?

Yechish. Bunday xilda shaxmat taxtasida gorizontal va vertikal yыnalishda faqat bittadan to`ra (rux) joylashtarish mumkin. Mumkin bo`lgan joylashtirishlar (vaziyatlar) 8 elemantdan tuzilgan o`rinalmashtirishlardan iborat bo`ladi, ya’ni