Umumiy matematika

4.2-§. Takroriy birlashmalar tadbiqi
Berilgan 5-ta o, b, p, q, e harflardan

P₅=12345=5!=120

ta xar xil so`z tuzish mumkin .

1-masala. «GAMMA» so`zida qatnashgan xarflardan nechta har xil so`z tuzish mumkin?

Bu ham 5-ta harf 5!=120 ta desak noto`g`ri bo`ladi faqat 30 ta tuzish mumkinligini quyida keltirib o`tamiz.

Demak bu yerda o`rinalmashtirish formulasini (P<sub>n</sub>=n!) tadbi=lab bo`lmaydi, chunki «o`rinalmashtirish»da harflar takrorlanadi. “GAMMA” so`zidagi a va m xarflarning joylarini ba’zi almashtirishlarda so`z o`zgarmay qoladi. Bu bilan biz tanlanmaning yangi turi takroriy o`rinalmashtirish tushunchasini kiritamiz.

Bizga k ta element berilgan bo’lsin. Bundan tanlanmalar tuzamiz. Birinchi elementni n₁ marta va hokazo k–chi elementni n_k marta takrorlaymiz. n₁+n₂+…+n_k=n bo’lsin.

Agar hamma elementlar har xil bo`lsa u xolda (3) formula bo`yicha P_n=n!=123…n formula bo`yicha n! ta o`rinlashtirish tuzilgan bo`ladi. Lekin bu yerda bazi elementlar tanlanmada takrorlanadi va ularning o`rinalmashtirishlarida yangi o`rinalmashtirish hosil bo`lmaydi. Shuning uchun takroriy o`rinlashtirishlar soni n! dan kam bo`ladi.

Necha marta kam bo`lishi mumkin? Quyidagi tanlanmani olaylik.

aaa...a bbb...b...lll…l

n₁ n₂ n_k

Bu yerda a elementlarni =(n₁)! usul bilan v elementlarni =(n₂)! va xokazo l elementlarni =(n_k)! usul bilan almashtirish mumkin, lekin bu bilan takroriy o`rinlashtirishlar o`zgarmaydi.

Demak takroriy o`rinalmashtirishlar soni takrorsiz o`rinalmashtirishlardan

(n₁)!(n₂)!... (n_k)!

marta kam bo`ladi. Shuning uchun takroriy o`rinalmashtirishlar soni

(T.1)

dan iborat bo`ladi.

«GAMMA» so`zining xarflardan tuzilgan tanlanma misolida n=5, n₁=1, n₂=2, n₃=2.