Umumiy matematika

3.3- §. Binom formulasini umumlashtirish
Endi umumiyroq formulani isbotlaymiz.

Isbot: n bir xil to’plamlarni ko’rib chiqamiz.
n
Ularni ko’paytirish qoidalari bo’yicha ko’paytirib chiqamiz.

Natijada biz quyidagi summaga ega bo’lamiz va u

(15)
ko’rinishga ega bo’ladi. Indekslar uchun 1,2,…………k sonlar o’rinlidir. k elementdan a_{1, ..,} a_k to n takrorlanishlar bilan hosil bo’lgan (15) ifodalarning soni tengdir, ya’ni kⁿ dan olingan hadlar, qaysiki a₁ marta, marta va boshqalar shuncha marta tashkil etadi. .... marta tashkil etadi va quyidagiga tengdir:

Har qaysi had o’rinlashtirishlarga bog’liq bo’lib, takrorlanadi:

Qaysiki bunda a₁ marta uchraydi, marta uchraydi va h.o, marta uchraydi. Bu hadlarning qiymati mumkin bo’lgan takrorlanishlar bilan o’rinlashtirishlar soniga tengdir. Bunda a_1, a_{2, ...,} a_n elementlarda ko’rsatilgan son bo’yicha shuncha marta uchraydi va h.o.

(16)

Mulohazaning ko’rinishida

Ko’paytmalar summa ko’rinishda

(16) koeffitsient bo’lib kiradi, bu yerda

Bu bilan (14) –formula isboti tugaydi.

(14) formula k=2 da (4) Nьyo`ton-Binomi formulasi hisoblanadi.
Masalan:

Isbotlangan formula bo’yicha hisoblaymiz.