V. E. Gmurman "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika". O’qituvchi" Toshkent-1997

6-masala. Qandolat do’konidagi 4 xil shirinlikdan 6 donasini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
Yechish: Bu misolda n= 4 va m= 6. Demak, 4 turdagi shirinliklardan 6 donasini

usul bilan tanlash mumkin.
Mosliklar soni ning qiymatini hisoblaydigan maxsus CHISLKOMB(SON;TANLANGAN_SON) funksiyaga murojaat: CHISLKOMB(6+4-l;6)


Kombinatorikaning asosiy qoidalari
Kombinatorikaning asosiy qoidalarini keltiramiz.
• Qo’shish qoidasi (mantiqiy qo’shish tamoyili)
Agar a elementni m ta usul bilan, b elementni esa boshqa n ta usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, u holda ularning birlashmasidan a yoki b ni m+n usul bilan tanlash mumkin.
• Ko’paytirish qoidasi (mantiqiy ko’paytirish tamoyili)
Agar a elementni m ta usul bilan tanlash mumkin bo’lib, har bir ana shunday tanlashdan so’ng b elementni p ta usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, u holda (a, b) juftlikni ko’rsatilgan tartibda m • n usul bilan tanlash mumkin.
Bu qoidalar ixtiyoriy sondagi elementlar uchun ham o’rinli.
7-masala Elektr mollari do’konida sotuvga uch xil televizor va ikki xil videomagnitofon chiqarilgan. Xaridor televizor yoki videomagnitofon sotib olish imkoniyatiga ega.
a) u bitta xaridni necha usul bilan amalga oshirishi mumkin?
b) agar xaridor televizor va videomagnitofon sotib olmoqchi bo’lsa, u holda nechta turli juftliklar bo’lishi mumkin?
Yechish: a) Bitta televizorni uchta usul bilan, videomagnitofonni esa ikki usul bilan sotib olish mumkin. U holda televizor yoki videomagnitofonni besh usul bilan sotib olish mumkin, ya’ni
N =n + m = 3 + 2 = 5.
b) a, b, с — televizorlar markazi; x, u — videomagnitofonlar markasi bo’lsin. Agar a markadagi televizor tanlangan bo’lsa, u holda ax va au komplektlari bo’lishi mumkin. Agar b markadagi televizor tanlangan bo’lsa, bx va bu komplektlarni hosil qilish mumkin. Va nihoyat, s markadagi televizor tanlangan bo’lsa, sx va su komplektlarni hosil qilish mumkin. Shunday qilib, televizor tanlanganidan so’ng ikki usul bilan videomagnitofon tanlanishi mumkin. Demak, hammasi bo’lib 6 ta turli juftliklar tanlash mumkin ekan:
N =n + m = 3 + 2 = 5.

Har birida A hodisa ro’y berishi (muvaffaqiyat) ham, ro’y bermasligi (muvaffaqiyatsizlik) ham mumkin bo’lgan n ta bog’liqmas tajribalar amalga oshirilsin. A hodisaning har bir tajribadagi ehtimolligini bir xil, ya’ni r ga teng deb hisoblaymiz. Demak, A hodisa ro’y bermasligining ehtimolligi ham har bir tajribada doimiy va q=1–p ga teng. Tajribalarning bunday ketma-ketligi Bernulli sxemasi deb ataladi.

Bunday tajribalarga misol sifatida, masalan, texnologik va tashkiliy shart-sharoitlarning doimiyligi holatida ma’lum bir uskunalarda mahsulotlarni ishlab chiqarishni qarash mum-kin, bu holda yaroqli mahsulotni tayyorlash — muvaffaqiyat, yaroqsizini tayyorlash — muvaffaqiyatsizlik. Agar biror mahsu-lotni tayyorlash jarayoni avvalgi mahsulotlarning yaroqli yoki yaroqsiz ekanligiga bog’liq emas deb hisoblansa, bu vaziyat Bernulli sxemasiga mos keladi.
Boshqa misol sifatida nishonga qarata o’q uzishni olish mumkin. Bu erda o’qning nishonga tegishi — muvaffaqiyat, nishonga tegmasligi — muvaffaqiyatsizlik.
n ta tajribada A hodisa roppa-rosa k marta ro’y berishi va demak, n—k marta ro’y bermasligi, ya’ni k ta muvaffaqiyat va n—k ta muvaffaqiyatsizlik bo’lishining ehtimolligini hisoblash masalasi qo’yilgan bo’lsin.
Qidirilayotgan ehtimollikni orqali belgilaymiz. Masalan, yozuvi beshta tajribada hodisa ropparosa 3 marta ro’y berishi va demak, 2 marta ro’y bermasligining ehtimolligini bildiradi.
p ta bog’liqmas tajribalar ketma-ketligini p ta bog’liqmas hodisalar ko’paytmasidan iborat bo’lgan murakkab hodisa deb qarash mumkin. Demak, p ta tajribada A hodisa k marta ro’y berishi va n—k marta ro’y bermasligining ehtimolligi bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklarini ko’paytirish haqidagi teoremaga asosan ga teng. Bunday murakkab hodisalar p ta elementdan k tadan nechta gruppalash tuzish mumkin bo’lsa, shuncha, ya’ni ta bo’ladi.
Bu murakkab hodisalar birgalikda bo’lmagani uchun birgalikda bo’lmagan hodisalarning ehtimolliklarini qo’shish haqidagi teoremaga asosan izlanayotgan ehtimollik mumkin bo’lgan barcha murakkab hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng. Bu murakkab hodisalarning ehtimolliklari bir xil bo’lgani uchun izlanayotgan ehtimollik (p ta tajribada A hodisaning k marta ro’y berish ehtimolligi) bitta murakkab hodisaning ehtimolligini ularning soniga ko’paytirilganiga teng

yoki
(3.1)
Hosil qilingan formula Bernulli formulasi deb ataladi.
Xulosa
Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazariyasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Ehtimollikning asosiy aksiomalari – ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:

1. 
   Hodisalar ustida amallar;
   
2. 
   Hodisalar algebrasi;
   
3. 
   Ehtimollikning klassik va statistik ta’rifi;
   
4. 
   Ehtimollikning geometrik ta’rifi;
   
5. 
   O’rin almashtirishlar;
   
6. 
   Takrorlanishli o’rinlashtirishlar;
   
7. 
   Takrorlanishli mosliklar.
   

Biz ushbu kurs ishini tayyorlash davomida tasodifiy hodisalar, ular ustida amallar, ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta’riflari va xossalarining hayotiy masalalarga bo’lgan tatbiqlari bilan tanishib chiqdik.