V. E. Gmurman "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika". O’qituvchi" Toshkent-1997

Kurs ishining dolzarbligi. Ehtimollar nazariyasini tuhunishning universal usuli ehtimollikning asosiy aksiomalarini berishdir. Bu aksiomalarni o’rgangan holda biz ehtimolliklar ustida amallar bajarishimiz, X tasodifiy miqdorning qaysi qanday qonun bo’yicha taqsimlanganligini bilishimiz mumkin. Shuni inobatga olgan holda mavzuning dolzarbligi kelib chiqadi.
Kurs ishining obyekti va predmeti. Kurs ishining obyekti va predmeti bu tasodifiy hodisa, ehtimollikning klassik, statistik, geometrik tarifi, asosiy aksiomalari haqida ma’lumotlar. Ulardan foydalanish jarayonida turli xil ta’rif, tushuncha va misollardan foydalaniladi. Kurs ishini tayyorlash jarayonida sonli xarakteristika va uning tadbiqlari o’rganilib, ularga doir misollar tahlil qilinadi.
Kurs ishining maqsad va vazifalari.

1. 
   Tasodifiy hodisa tushunchasini o’rganish,
   
2. 
   Hodisalar ustida amallarni o’rganish,
   
3. 
   Ehtimollikning statistik ta’rifi,
   
4. 
   Ehtimollikning klassik va geometrik ta’rifi,
   
5. 
   O’rin almashtirishlar (Excel dasturining standart funksiyalari [f] yordamida) o’rganish;
   
6. 
   Takrorlanishli mosliklar
   

Kurs ishining yangiligi va amaliy ahamiyati. Kurs ishi referativ-uslubiy xarakterga ega bo’lgani uchun ilmiy yangilik qilinmagan. Mavzuga oid bir nechta adabiyotlardan ma’lumotlarni to’plash tahlil qilish va misollarga tatbiq qilishdan iborat.
Kurs ishining uslubiyati. Kurs ishi nazariy xarakterga ega bo’lib, olingan natijalar boshqa adabiyotlar bilan taqqoslanib mavzuga oid misollarni yechishda sodda usullar keltirilgan.
I.BOB
EHTIMOLLAR NAZARIYASI. TASODIFIY HODISALAR

1. 
   Ehtimollar va uning ta’rifi
   

Uzoq davrlar mobaynida insoniyat o’z faoliyati uchun faqat determinirlangan deb atalmish qonuniyatlarni o’rganar va ulardan foydalanar edi. Biroq tasodifiy hodisalar bizning hayotimizga xohishirodamizdan qat’iy nazar kirib kelgani va bizni doimo o’rab turgani uchun hamda, ustigaustak, tabiatning deyarli barcha hodisalari tasodifiy xususiyatli bo’lgani uchun ularni tadqiq qilishni o’rganish va shu maqsadda tadqiqot usullarini ishlab chiqish zarurdir.
Tabiat va jamiyat qonunlari sababiy bog’lanishlarning namoyon bo’lish shakli bo’yicha ikkita sinfga bo’linadi: determinirlangan (oldindan aniq) va statistik.
Masalan, osmon mexanikasi qonunlariga asosan Quyosh sistemasidagi sayyoralarning hozir ma’lum bo’lgan vaziyati bo’yicha ularning ixtiyoriy paytdagi vaziyati amalda bir qiymatli oldindan aytib berilishi mumkin, shu jumladan, Quyosh va Oy tutilishlari juda aniq bashorat qilinishi mumkin. Bu determinirlangan qonunlarga misol.
Shu bilan birga hamma hodisalarni ham aniq bashorat qilib bo’lmaydi. Masalan, iqlimning uzoq muddat davomida o’zgarishlari, ob-havoning qisqa muddatli o’zgarishlari muvaffaqiyatli bashorat qilishning obektlari bola olmaydi, ya’ni ko’pgina qonunlar va qonuniyatlar determinirlangan doiraga ancha kam darajada bo’ysunadi. Bunday turdagi qonunlar statistik qonunlar deb ataladi. Bunday qonunlarga asosan, biror bir tizimning kelajakdagi holati bir qiymatli emas, balki faqat ma’lum bir ehtimollik bilan aniqlanadi.
Ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlar kabi amaliyot ehtiyojlaridan paydo bo’ldi va rivojlandi. U ommaviy tasodifiy hodisalarga xos qonuniyatlarni o’rganish bilan shug’ullanadi.
Ehtimollar nazariyasi shart-sharoitlarning aniq bir majmuasini amalga oshirganda ko’p marotalab qaytarilishga qodir bo’lgan ommaviy tasodifiy hodisalarning xossalarini o’rganadi. Tabiatidan qat’iy nazar, ixtiyoriy tasodifiy hodisaning asosiy xususiyati — uni amalga oshishining o’lchovi yoki ehtimolligi.
Biz kuzatadigan hodisalarni uchta turga bo’lish mumkin: muqarrar, mumkin bo’lmagan va tasodifiy.
Muqarrar hodisa deb albatta ro’y beradigan hodisaga aytiladi. Mumkin bo’lmagan hodisa deb mutlaqo ro’y bermaydigan hodisaga aytiladi. Tasodifiy hodisa deb ro’y berishi ham, ro’y bermasligi ham mumkin bo’lgan hodisaga aytiladi.
Ehtimollar nazariyasi yakka hodisa ro’y berish yoki bermasligini oldindan aytib berish vazifasini o’z oldiga qo’ymaydi, chunki tasodifiy hodisaga hamma shart-sharoitlarning ta’sirini hisobga olish mumkin emas. Boshqa tomondan qaraganda, konkret tabiatidan qat’iy nazar, etarlicha ko’p sondagi bir jinsli tasodifiy hodisalar tayin qonuniyatlarga, aniqrog’i ehtimoliy qonuniyatlarga bo’ysunadi.
Shunday qilib, ehtimollar nazariyasining predmeti ommaviy bir jinsli tasodifiy hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o’rganishdir.
XVII asrning boshlaridayoq ommaviy tasodifiy hodisalarga xos bo’lgan ba’zi-bir masalalarni tegishli matematik uslublardan foydalangan holda echishga urinishgan. B. Paskalь, P. Ferma va X. Gyuygens XVII asrning o’rtalarida turli qimor o’yinlarining kechishi va natijalarini o’rgana borib, klassik ehtimollar nazariyasiga asos solishdi. Ular o’z ishlarida ehtimollik va tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi tushunchalaridan oshkor bo’lmagan holda foydalanishgan. Faqat XVIII asrning boshida Ya. Bernulli ehtimollik tushunchasini shakllantiradi.
Yuqorida ta’kidlab o’tilganidek, amaliyot ehtiyojlari ehtimollar nazariyasining paydo bo’lishiga ko’maklashgan holda uning fan sifatida rivojlanishini ta’minladi, yangi tarmoqlar va bo’limlarning paydo bo’lishiga olib keldi. Vazifasi bosh to’plamga xos bo’lgan xarakteristikalarilarni tanlanma bo’yicha ma’lum bir ishonchlilik darajasida tiklashdan iborat bo’lgan matematik statistika ehtimollar nazariyasiga tayanadi. Ehtimollar nazariyasidan tasodifiy jarayonlar nazariyasi, ommaviy xizmat ko’rsatish nazariyasi, axborot nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, ekonometrik modellashtirish kabi fan tarmoqlari ajralib chiqdi.
Ehtimollar nazariyasini tatbiq qilishning eng muhim yo’nalishlari sifatida iqtisodiyot, texnika fanlarini ko’rsatish mumkin. Hozirgi paytda ehtimollar nazariyasiga tayanuvchi modellashtirishlarsiz, korrelyatsiyaviy va regressiyaviy tahlil, adekvatlik hamda «sezgir» adaptiv modellarisiz iqtisodiy-texnik tasodifiy jarayonlarni tadqiq etishni tasavvur qilish qi-yin.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari — tajriba yoki eksperiment va hodisalar. Muayyan shart-sharoit va holatlarda amalga oshiriladigan xatti-harakatlarni eksperiment deb ataymiz. Eksperimentning har bir amalga oshishi tajriba deb ataladi.
Eksperimentning har qanday mumkin bo’lgan natijasi elementar hodisa deb ataladi va orqali belgilanadi. Tasodifiy hodisalar bir qancha elementar hodisalardan tashkil topadi va A, B, C, D, ... orqali belgilanadi.

1. 
   eksperiment o’tkazilishi natijasida elementar hodisalarning bittasi doimo sodir bo’ladi;
   
2. 
   bitta tajribada faqat bitta elementar hodisa sodir bo’ladi
   

degan shartlar bajariladigan elementar hodisalar to’plami elementar hodisalar fazosi deb ataladi va orqali belgilanadi.

Shunday qilib, ixtiyoriy tasodifiy hodisa elementar hodisalar fazosining qism to’plami bo’ladi. Elementar hodisalar fazosining ta’rifiga asosan muqarrar hodisani orqali belgilash mumkin. Mumkin bo’lmagan hodisa orqali belgilanadi.