V. E. Gmurman "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika". O’qituvchi" Toshkent-1997

1-misol. Shashqoltosh tashlanmoqda. Ushbu eksperimentga to’g’ri keluvchi elementar hodisalar fazosi ko’rinishda bo’ladi.
2-misol. Qutida 2 ta qizil, 3 ta ko’k va 1 ta oq, hammasi bo’lib 6 ta shar bo’lsin. Eksperiment qutidan tavakkaliga sharlarni olishdan iborat. Ushbu eksperimentga to’g’ri keluvchi elementar hodisalar fazosi ko’rinishda bo’ladi, bu erda elementar hodisalar quyidagi qiymatlarga ega bo’ladi: – oq shar chiqdi; – qizil shar chiqdi; – ko’k shar chiqdi. Quyidagi hodisalarni ko’rib chiqamiz:
A — oq sharning chiqishi;
V — qizil sharning chiqishi;
S — ko’k sharning chiqishi;
D — rangli (oq bo’lmagan) sharning chiqishi.

Bu erda ko’rinib turibdiki, bu hodisalarning har biri u yoki bu imkon darajasiga ega: ba’zilari – ko’proq, boshqalari –kamroq. Shubhasiz, V hodisaning imkon darajasi A hodisanikidan ko’proq; xuddi shunday S niki V nikidan, D niki esa S nikidan ko’proq. Hodisalarni imkon darajalari bo’yicha miqdoriy tomondan taqqoslash uchun, shubhasiz, har bir hodisa bilan ma’lum bir sonni bog’lash zarur. Bu son hodisa qanchalik imkoniyatliroq bo’lsa, shunchalik kattaroq bo’ladi.

Bu sonni orqali belgilaymiz va A hodisaning ehtimolligi deb ataymiz.

Endi biz ehtimollikning ta’rifini beramiz.

Elementar hodisalar fazosi chekli to’plam bo’lsin va uning elementlari bo’lsin. Ularni teng imkoniyatli elementar hodisalar deb hisoblaymiz, ya’ni har bir elementar hodisaning sodir bo’lishi boshqalarnikidan ko’proq imkoniyatga ega emas. Ma’lumki, har bir A tasodifiy hodisa ning qism to’plami sifatida elementar hodisalardan tashkil topgan. Bu elementar hodisalar A ning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchilari deyiladi.
A hodisaning ehtimolligi
(1.1.1)
formula bilan aniqlanadi, bu erda m — A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni, n – ga kiruvchi barcha elementar hodisalar soni.
Agar 1-misolda A orqali juft tomon tushishi hodisasi belgilansa, u holda .
2-misolda hodisalarning ehtimolliklari quyidagi qiymatlarga ega:
; ; ; .
Ehtimollikning ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
1. Muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng.
Haqiqatan, agar hodisa muqarrar bo’lsa, u holda barcha elementar hodisalar uning ro’y berishiga qulaylik tug’diradi. Bu holda m=n, binobarin
.
2. Mumkin bo’lmagan hodisaning ehtimolligi nolga teng.
Haqiqatan, mumkin bo’lmagan hodisaning ro’y berishi uchun birorta ham elementar hodisa qulaylik tug’dirmaydi. Bu holda m=0, binobarin
.
3. Tasodifiy hodisaning ehtimolligi nol bilan bir orasidagi musbat sondir.
Haqiqatan, tasodifiy hodisaning ro’y berishiga elementar hodisalarning faqat bir qismi qulaylik tug’diradi. Bu holda , demak , binobarin
.
Shunday qilib, ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi
(1.2.2)
tengsizliklarni qanoatlantiradi
Hodisaning nisbiy chastotasi deb hodisa ro’y bergan tajribalar sonining aslida o’tkazilgan jami tajribalar soniga nisbatiga aytiladi.
Shunday qilib, A hodisaning nisbiy chastotasi
(1.1.3)
formula bilan aniqlanadi, bu erda t — hodisaning ro’y berishlari soni, p — jami tajribalar soni.
Ehtimollik va nisbiy chastotaning ta’riflarini solishtirib, quyidagi xulosaga kelamiz: ehtimollikning ta’rifida tajribalar haqiqatan o’tkazilganligi talab qilinmaydi; nisbiy chastotaning ta’rifida esa tajribalar aslida o’tkazilganligi faraz qilinadi.