Mühazirəçi: baş müəllim G. N. Əliyeva Ədəbiyyat

Mövzu10. Funksiyanın kəsilməzliyi.

1. 
   Funksiyanın kəsilməzliyi
   
2. 
   Kəsilməz funksiyaların bəzi xassələri
   

Tutaq ki, funksiyası nöqtəsində və həmin nöqtənin hər hansı bir ətrafında təyin olunmuşdur. Tutaq ki, . Əgər x də­yişəni müəyyən bir artımını alaraq qiymətinə bərabər olarsa, onda yfunksiyası da uyğun olaraq müəyyən y artımını alar. Burada artımının mənfi və ya müsbət olmasının əhəmiyyəti yoxdur.Funksiyanın yeni qiymətiolar (şəkil 15).Buradan funksiyanın artımı aşağıdakı kimi olar:

y ₌f (x₀₊ Dx) ^– f (x₀).

Tərif 1.Əgərfunksiyası nöqtəsində və onun hər hansı bir ətrafında təyin olunmuşdursa və

, (1)

və yaxud

(2)

münasibəti ödənilərsə, ondafunksiyasına nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.

Teorem.Hər bir elementar funksiyası təyin olduğu istənilən nöqtədə kəsilməzdir.

Tərif 2.Əgər nöqtəsində arqumentin sonsuz kiçilən artımına

funksiyasının da sonsuz kiçilən artımı uyğun olarsa, onda funksiyasına nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.

Tərif3.Əgər

bərabərliyi ödənilərsə, ondafunksiyasına nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.

Tərif 4. (a; b) intervalının hər bir nöqtəsində kəsilməz funksiyaya həmin intervalda kəsilməz funksiya deyilir.

Hər hansı bir nöqtəsində funksiyasının kəsilməz olmasının şərtlərindən heç olmasa biri pozularsa, yəni: 1) nöqtəsində funk­siya təyin olunmamışdırsa; 2) funksiyanın x₀ nöqtəsindəlimiti yoxdursa; 3) funksiyanın nöqtəsində qiyməti və limiti olduğu halda onların bərabərliyi ödənmirsə: , onda deyirlər ki, funsiyası nöqtəsində kəsilir. Bu halda nöqtəsinə funksiyanın kəsilmə nöqtəsi deyilir.

Funksiya limitinin tərifindən istifadə etməklə kəsilməzliyin tərifini başqa şəkildə də ifadə edə bilərik.

Tərif 5.Tutaq ki, ədədi üçün ədədi var ki, -in

bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində ödənilir.Bu halda funksiyasına nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.

Əgər funksiya x₌a nöqtəsində təyin olunmuşdursa vəbərabərliyi ödənirsə, onda deyirlər ki, funksiyası nöqtəsində sağdan kəsilməzdir. Eləcədə,olduqdafunksiyası nöqtəsində soldan kəsilməz adlanır.

Tərif6.Tutaq ki, x₀nöqtəsində f(x) funksiyasının sağ və sol limitlərivə var. Lakin yavə yaxud nöqtəsindəfunksiyası təyin olunmamışdır. Onda nöqtəsifunksiyasının birinci növ kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Kəsilməz funksiyaların bəzi xassələri

Teorem1.Verilmiş nöqtəsində kəsilməzfunksiyası həmin nöqtənin müəyyən ətrafında məhduddur.

Teorem2. nöqtəsində sonlu sayda kəsilməz funksiyaların cəmi və hasili də həmin nöqtədə kəsilməzdir.

Teorem3.Əgərvəfunksiyaları x₀ nöqtəsində kəsilməzdirsə və şərti ödənilirsə, onda nisbəti həmin nöqtədə kəsilməzdir.

Teorem4.Əgər funksiyası t₀nöqtəsindəvə funksiyası

nöqtəsində kəsilməzdirsə, onda mürəkkəb funksiyası nöqtəsində kəsilməzdir.

Teorem5.Sonluparçasında kəsilməzfunksiyası hə­min parçada məhduddur.

Teorem6. parçasında kəsilməzfunksiyası həmin parçanın uc nöqtələrində müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda və nöqtələri arasında yerləşən ən azı bir c (a_<c_<b) nöqtəsi var ki, həmin nöqtədəfunksiyası sıfra çevrilir: f (c) ₌ 0.

Teorem7.parçasında kəsilməz funksiyası həmin parçanın uc nöqtələrində bərabər olmayan A ₌ f (a) B ₌ f (b) qiymətlərini alırsa, onda həmin və ədədləri arasında yerləşən hər bir ədədi üçün parçasında yerləşən ən azı bir nöqtəs ivar ki, olar.

Teorem 8. Əgər funksiyası hər hansı bir intervalda kəsilməzdirsə və orada özünün ən kiçik, ən böyük qiymətlərini alırsa, onda funksiya həmin intervalda ən kiçik qiyməti ilə ən böyük qiyməti arasında yerləşən istənilən ədədi heç olmasa bir dəfə alır.