Mühazirəçi: baş müəllim G. N. Əliyeva Ədəbiyyat

Teorem 2. funksiyası nöqtəsində kəsilməzdirsə və intervalında intervalında isə olarsa onda nöqtəsi funksiyasınin maksimum nöqtəsidir.

Başqa sözlə : nöqtəsində funksiyanın törəməsi öz işarəsini müsbətdən mənfiyə dəyişirsə , onda maksimum nöqtəsidir.

İsbatı. aralığında və funksiyası nöqtəsində kəsilməz olduğundan, funksiyanın artan olmasının kafi şərtinə və ona aid qeydə əsasən alınır ki, funksiyası aralığında artır: deməlı aralığında bütün -lər üçün aralığında funksiya azalır(isbatı oxşardır), deməli aralığında bütün -lər üçün

Beləliklə, aralığından bütün -lər üçün yəni nöqtəsi funksiyasınin maksimum nöqtəsidir.

Teorem 3. funksiyası nöqtəsində kəsilməzdirsə və intervalında intervalında isə olarsa onda nöqtəsi funksiyasınin minimum nöqtəsidir.

Ekstremumun varlığının II kafi şərti

Teorem 4. şərti daxilində olarsa, funksiyanın nöqtəsində maksimumu, olduqda isə minimumu var.

Mövzu12

Mürəkkəb və tərs funksiyanın törəməsi. Qeyri-aşkar şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi .Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi.Orta qiymət teoremləri.

1. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

2. Tərs funksiyanın törəməsi.

3. Orta qiymət teoremləri.

4.Qeyri-aşkar şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi

5.Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Tutaq ki, mürəkkəb funksiyası verilmişdir, yəni onu

, ,

yaxud şəklində yazmaq olar. ifadəsində u dəyişəninə aralıq arqumenti deyilir.

Teorem. Əgər funksiyasının x nöqtəsində törəməsi varsa və aralıq arqumentin uyğun qiymətində funk­siyasının törəməsi varsa, onda mürəkkəb funksiyasının həmin x nöqtəsində törəməsi var və

Qısa olaraq

yazılır, yəni mürəkkəb funksiyanın törəməsi həmin funksiyanın aralıq arqumentinə nəzərən törəməsi ilə aralıq arqumentin x-ə nəzərən törəməsinin hasilinə bərabərdir.

İsbatı. Sərbəst dəyişənin müəyyən bir x qiymətində

,

vəonunqiymətindəisə

,

olar. Beləliklə, x artımına u , buna isə y artımı uyğundur; bundan başqaşərtində, belə olduqda isə.

Şərtə görətörəməsivardır:

Funksiya limitinin xassəsinə əsasən bu münasibətdən (olduqda)

(1)

alınır, buradaşərtində. Bu halda (1) bərabərliyini

(2)

şəklində yazmaq olar. (2) bərabərliyi u₌ 0 olduqda da doğrudur, çünki o, 0 = 0 eyniliyinə çevrilir. u₌ 0 olduqdahesab edəcəyik. (2) bərabərliyinin hər tərəfini x artımına bölək:

(3)

Şərtə əsasən

,

(3) bərabərliyində şərtində limitə keçərək

alarıq.

Tərs funksiyanın törəməsi

Teorem.funksiyasınöqtəsində diferensiallanandırsa vəolarsa, onda onun tərs funksiyasıuyğunnöqtəsində diferensiallanandırvə onun törəməsi

(1)

düsturu ilə hesablanır.

İsbatı. Əvvəlcə qeyd edək ki, tərs funksiyanın tərifinə görə, , , . Onda tərs funksiya üçün

bərabərliyini yazmaq olar. Tərs funksiya kəsilməz olduğundanşərtindəolur. Buna görə də:

,

yəni (1) düsturu doğrudur. Bu düsturu

(2)

şəklində də yazmaq olar.

Üstlü-mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qüvvət şəklində verilmiş funksiyada həm əsas, həm də qüvvətin üstü bir x dəyişəninin funksiyası olduqda həmin funksiyaya üstlü-mürəkkəb funksiya deyilir. Məsələn, , , , . Ümumiyyətlə,

şəklində verilmiş istənilən funksiya üstlü-mürəkkəb funksiyadır.

Teorem.Əgərolarsa, onda

İsbatı. bərabərliyiniloqarifmləyək:

Alınan bərabərliyi x-ə nəzərən diferensiallayaq

;

buradan

Axırıncı bərabərlikdə x-in yerinə yazaq

Beləliklə, üstlü-mürəkkəb funksiyanın törəməsi iki həddin cəmindən ibarətdir: funksiyasındau kəmiyyətinə x-in funksiyası, v-yə isə sabit kimi baxaraq diferensialladıqda birinci toplanan alınır, və v kəmiyyətini x-in funksiyası kimi qəbul edərək diferensialladıqda isə ikinci toplanan alınır.

Orta qiymət teoremləri. Laqranj teoremi

Diferensiallanan funksiyanın sonlu artımı uyğun arqument artımımnin onun

törəməsinin hər hansı aralıq nöqtəsindəki qiymətinin hasilinə bərabərdir; yəni əgər funksiyası hər hansı aralığında diferensiallanan funksiyadırsa və bu aralığın ixtiyari qiymətləridirsə; başqa sözlə əgər 1) 2) parçanın daxilində törəməsi varsa, onda və nöqtələri arasında elə nöqtəsi var ki,

(1)

İsbatı. funksiyasının qrafikində və nöqtələrindən keçən kəsənini çəkək. Bu kəsəni nöqtəsindən keçən toxunana paralel olaraq çəkək. Şəkildən göründüyü kimi kəsəninin bucaq əmsalı toxunanının bucaq əmsalına bərabərdir. Ona görə də -dan alırıq:

olduğundan

. Teorem isbat olundu.