Mühazirəçi: baş müəllim G. N. Əliyeva Ədəbiyyat

Funksiyanın böhran nöqtələri. Onun maksimumları və minimumları

Funksiyanın təyin oblastında törəməsinin təyin olunmadığı və yaxud sıfra bərabər olduğu daxili nöqtələrə funksiyanın böhran nöqtələri deyilir.

funksiyasının (şək1)-də təsvir olunmuş qrafikini nəzərdən keçirməklə bu funksiyanın böhran nöqtələrinin belə xüsusiyyətlərini göstərmək olar. və nöqtələrinə kifayət qədər yaxın olan bütün nöqtələrdə funksiyasının qiymətləri uyğun olaraq və qiymətlərindən kiçik deyil, eləcə də və nöqtələrinə kifayət qədər yaxın olan nöqtələrdə bu funksiyasının qiymətləri uyğun olaraq və qiymətlərindən böyük deyil.

Tərif 1. nöqtəsinin elə ətrafı varsa ki və bu ətrafdakı bütün -lər üçün

Şəkil 2 Şəkil 3 Şəkil 1

ödənilərsə, onda nöqtəsinə funksiyasının minimum nöqtəsi deyilir (şək2).

Tərif 2. nöqtəsinin elə ətrafı varsa ki və bu ətrafdakı bütün -lər üçün

ödənilərsə , onda nöqtəsinə funksiyasının maksimum nöqtəsi deyilir (şək3).

Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrinə həmin funksiyanın ekstremum nöqtələri, funksiyanın həmin nöqtələrdəki qiymətlərinə funksiyanın ekstremumları dryilir. Latın sözü olan ekstremus- “ekstremum”, azərbaycanca başqalarından çox fərqlənən , kənar mənasını verir.

Beləliklə , və nöqtələri funksiyasının minimum nöqtələri, və nöqtələri funksiyasının maksimum nöqtələridir. Qeyd edək ki, və nöqtələri funksiyasının ekstremum nöqtələri deyil(şək 1); çünki, bu nöqtələrin hər biri üçün onların daxil olduğu və bütünlüklə funksiyanın təyinoblastında yerləşən interval seçmək mümkün deyil.

Göstərək ki, funksiyanın ekstremum nöqtələri onun böhran nöqtələridir.

Teorem 1-Ferma teoremi. nöqtəsi funksiyasının ekstremum nöqtəsidirsə və həmin nöqtədə törəməsi varsa, onda törəmə sıfra bərabərdir:

İsbatı. Əksini fərzetmə metodu ilə isbat edək.

Tutaq ( müəyyənlik üçün) ki. minimum nöqtəsidir. Fərz edək ki,

Onda

olduğundan, limitin tərifinə əsasən müsbət ədədi üçün nöqtəsinin elə ətrafı var ki, bu ətrafın istənilən nöqtəsi üçün

olar, yəni

buradan

və olduqda Bu isə -ın minimum nöqtəsi olmasına ziddir. halı da oxşar qayda ilə ziddiyyətə gətirir. Beləliklə , fərziyyəsi doğru deyil, ona görə Maksimum nöqtəsi üçün isbat oxşar qayda ilə aparılır. Ferma teoremi ekstremumun ancaq zəruri şərtidir: nöqtəsində törəmənin sıfra bərabər olmasından həmin nöqtədə funksiyanın ekstremumunun varlığı çıxmır. Məsələn funksiyasının törəməsi nöqtəsində sıfra çevrilir, lakin bu nöqtədə funksiyanın ekstremumu yoxdur( şək.4)

Şəkil 4 Şəkil 5 Şəkil 6

Misal 1. funksiyasını nəzərdən keçirək (şək 5). Bu funksiyanın nöqtəsində törəməsi yoxdur. Deməli böhran nöqtəsidir. Aşkardır ki, nöqtəsində funksiyanın minimumu var.

Misal 2. funksiyasını nəzərdən keçirək (şək.6). Qrafikdən görünür ki. nöqtəsində funksiyanın ekstremumu yoxdur. Bu nöqtədə funksiyanın törəməsi də yoxdur.

Ferma teoremindən çıxır ki, funksiyanin ekstremumunu axtardıqda , birinci növbədə, onun böhran nöqtələrini tapmaq lazımdır. Lakin yuxarıdakı misallardan göründüyü kimi , müəyyən böhran nöqtəsinin böhran nöqtəsi olub-olmaması əlavə tədqiqat tələb edir. Bu məsələdə nöqtədə ekstremumun varlıgı haqqında aşagıdakı kafi şərtlər çox kömək edir.

Ekstremumun varlığının I kafi şərti