§. Natural va butun sonlar

23- §. Geometrik progressiya.
Agar (b_n) ketma-ketlik b₁ =b va ixtiyoriy n natural son uchun b_n+1 =b_nq shart o’rinli bo’lsa, bu ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi. Bunda b va q geometrik progressiyaning mos ravishda birinchi hadi va maxraji deyiladi. Agar geometik progressiyada b>0 va q>0 bo’lsa, o’suvchi bo’ladi; agar b>0 va 01 bo’lsa, kamayuvchi hisoblanadi; b<0 va 0Geometrik progressiyaning n- hadi uchun quyidagi formula o’rinli bo’ladi.
b_n =bq^n-1
isboti: Geometrik progressiya uchun b₂ =b₁q, b₃ =b₂q, b₄=b₃q,……..,b_n =b_n-1q shartlar o’rinlidir.
Buni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.
b₂ =b₁q, b₃ =b₁q², b₄ =b₁q³,……..,b_n =b₁q^n-1
Xossasi:

1. 
   b_n =b_n-1b_n+1
   
2. 
   b_kb_m=b_pb_q (k+m =p+q)
   

Geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi uchun quyidagi formula o’rinlidir.
S_n = b₁+b₂+b₃+….+b_n =
Isboti: S_n = b₁+b₂+b₃+….+b_n tenglik o’rinlidir. Bu tenglikni ikki tarafini q ga ko’paytirib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
qS_n = qb₁+qb₂+qb₃+….+qb_n
Bu ikkita tenglikni bir-biridan ayirib (1-q)S_n = b(1-qⁿ)
Bu tenglikdan S_n = ni hosil qilamiz.
Ceksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig’indsi
S = b₁+b₂+b₃+…….= formula orqali topiladi. (Bunda
Isboti: Agar bo’lsa, =0 ga teng bo’ladi. Buni inobatga olib, )= ga teng bo’ladi.
23-Mashq.
1.(b_n) geometrik progressiyada b₁ +b₃ =17, b₂ +b₄ =68 shartlar o’rinli bo’lsa, S₇ ni aniqlang.
Javob: (5461)
2. Geometrik progressiyaning maxaraji 3 ga teng, dastlabki to`rtta hadining yig`indisi 80 ga teng. Uning to`rtichi hadini toping.
A) 24 B) 32 C) 54 D) 27
3. Ishorasi almashinuvchi geometrik progressiyaning birinchi hadi 2 ga, uchinchi hadi 8 ga teng. Shu progressiyaning dastlabki 6 ta hadining yig`indisini toping.
A) 20 B) -20 C) -42 D) 42
4.Geometrik progressiyaning birinchi hadi va maxaraji 2 ga teng. Shu progressiyaning dastlabki nechta hadlari yig`indisi 1022 ga teng bo`ladi?
A) 5 B) 8 C) 9 D) 10
5. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig`indisi 1,6 ga, ikkinchi hadi -0,5 ga teng. Shu progressiyaning uchinchi hadini toping.
A) B) C) D)
6. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning birinchi hadi ikkinchisidan 8 ga ortiq, hadlarining yig`indisi esa 18 ga teng. Progressiyaning uchinchi hadini toping.
A) B) C) D)
7. Bir biridan faqat maxrajlarining ishoralari bilan fsrq qiladlgan ta cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya berilgan.Ularning yigindilari mos ravishda va ga teng. Shu progressiyalardan istalganining hadlari kvadratlaridan tuzilgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig`indisini toping.
A) B) C) D)
8. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig`indisi 16 ga teng, shu progressi-yaning hadlari kvadratlarining yig`indisi esa 153 ga teng. Progressiyaning maxrajini va to`rtinchi hadini toping.
Javob: ( )
9. Birinchi, ikkinchi va oxirgi hadi mos ravishda 3,12 va 3072 ga teng bo`lgan chekli geometrik progressiyaning hadlari sonini toping.
Javob: (6)
10. a,b,c,d sonlari ko’rsatilgan tartibda geometrik progressiyani tashkil etadi. Agar a+d=10, va a·d=7 ga teng bo’lsa, b³+c³ ni hisoblang.
Javob: (70)
11. Musbat hadli (b_n) geometrik progressiyada b₂ b₄ =4 va b₃ +b₄ =5 shartlar o’rinli bo’lsa, b₆ ning qiymatini aniqlang.
Javob: ( 27/4)
12. (b_n) geometrik progressiyada b₁ +b₃ =20 va S₃ =26 shartlar o’rinli bo’lsa, progressiyani aniqlang.
Javob: (2;6;18;54……)
13. O’suvchi geometrik progressiyada b₅ –b₁ =80, b₄ –b₂ =24 shartlar o’rinli bo’lsa, b₃ ning qiymatini aniqlang.
Javob: (9)
14. Geometrik progresiyada b₄ =11, b₇ =88 bo’lsa, b₉ ning qiymatini aniqlang.
Javob: (352)
15. To’rt hadli geometrik progressiyaning chetki hadlari yig’indisi 27 ga , o’rta hadlari ko’paytmasi 72 ga teng bo’lsa, progressiyaning hadlarini aniqlang.
Javob: (24,12,6,3 yoki 3,6,12,24)
16. To’rt hadli geometrik progressiyaning chetki hadlari yig’indisi 27 ga , o’rta hadlari ko’paytmasi 72 ga teng bo’lsa, progressiyaning hadlarini aniqlang.
Javob: (8,12,18,27 yoki 27,18,12,8)
17. (b_n) geometrik progressiyada b₄ –b₁ =52 va b₁+b₂+b₃ =26 ga teng bo’lsa, S₆ ning qiymatini aniqlang.
Javob: (728)
18. (b_n) geometrik progressiyada b₁+b₂+b₃ =31 ga, b₁+b₃=26 ga teng bo’lsa, b₇ ning qiymatini aniqlang.
Javob: (15625 yoki 1/625)
19. Geometrik progressiyaning ikkinchi va birinchi hadlari ayirmasi 18 ga, to’rtinchi va uchinchi hadlari ayirmasi 162 ga teng bo’lsa, bu progressiyani aniqlang.
Javob: ( b₁=9 , q =3 yoki b₁ = -9/2, q = -3)
20. x ning qanday qiymatida maxraji q =x² +x+1 ga teng bo’lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig’indiga ega bo’ladi?
A) (0;1) B)(-1;1) C)(-1;0) D) bunday qiymat yo’q
21.Agar geometric progressiyaning dastlabki uchta hadining yig’indisi 26ga, bu hadlarning kvadratlari yig’indisi 364 ga teng bo’lsa, uning uchinchi hadini toping. (q>1)
A) 2 B)6C)18 D)3
22. Agar geometric progressiyaning dastlabki uchta hadining yig’indisi 26ga, bu hadlarning kvadratlari yig’indisi 364 ga teng bo’lsa, uning uchinchi hadini toping. (q< 1)
A) 2 B)6C)18 D)3
23. Cheksiz kamayuvchi geometric progressiyaning hadlari yig’indisi 3 ga, uning hadlari kublarining yig’indisi 108/13 gateng. Bu progressiyaning dastlabki 5 ta hadi yig’indisini toping.
A) 242/81 B)3 C) 244/81 D) 241/81
24. Agar x²–3x +A = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x₁, x₂va x² – 12x+ B = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x₃, x₄ hamda x₁, x₂, x₃, x₄ mos ravishda o’suvchi geometrik progressiyaning hadlari bo’lsa, A sonining qiymatini toping.
A) 2 B)32 C)–1 D)1
25. hisoblang.
A) B) C) D)
26. hisoblang.
A) B) C) D)
27. hisoblang.
A) B) C) D)
28. Agar a,b,c sonlar geometrik progressiyaning ketma- ket hadlari bo’lsa,
a³b³+b³c³+c³a³-abc(a³+b³+c³) ifodaning qiymatini toping.
A)abc B)a(b+c) C) 0 D)a³ b³c³
29. Agar a,b,c sonlar geometrik progressiyaning ketma- ket hadlari bo’lsa,
a³b³+b³c³+c³a³-abc(a³+b³+c³) +b³+b²c-abc-ac² ifodaning qiymatini toping.
A)abc B)a(b+c) C) 0 D)a³ b³c³
30. b₁, b₂,……b_n geometrik progressiyaning hadlari bo’lsin. Agar S₁ =b₁+b₂+……+b_n va T = bo’lsa, b₁ b₂ …… b_n ko’paytmani hisoblang.
Javob : (
31. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig’indisni toping.

32. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig’indisni toping.

33.Agar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyada b₁+b₄ =18 va b₂ +b₃ =12 shartlar o’rinli bo’lsa, uning hadlari yig’indisini toping.
Javob: (32)
34.Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning
hadlari yig’indisi 18 ga, hadlari kvadratlarining yig’indisi 108 ga teng. Progressiyaning birinchi hadini aniqlang.
Javob: (9)
35. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning
hadlari yig’indisi 18 ga, hadlari kvadratlarining yig’indisi 108 ga teng. Progressiyaning maxrajini aniqlang.
Javob: (1/2)
36. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning
hadlari yig’indisi 14 ga, hadlari kublarining yig’indisi 392 ga teng. Progressiyaning birinchi hadini aniqlang.
Javob: (7)
37. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning
hadlari yig’indisi 14 ga, hadlari kublarining yig’indisi 392 ga teng. Progressiyaning birinchi hadini aniqlang.
Javob: (1/2)
38. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning
hadlari yig’indisi 12 ga, hadlari kvadratlarining yig’indisi 72 ga teng. Progressiyaning beshinchi hadini aniqlang.
Javob: (8/81)
39. Tenglamani yeching.
x
Javob: (9)
40. Tenglamani yeching.
( )
Javob: (
41. Tenglamani yeching.
(
Javob: (
42. Tenglamani yeching.
3^x-2+3^x-3+3^x-5 =3,7+3,33+2,997+….
Javob: (5)
43. Yig’indini hisoblang.

Javob: (
44. Yig’indini hisoblang.

Javob:
45. Qaysi sonlar bir vaqtning o’zida 1;10;19;…. arifmetik progressiya va 4;16;64;…. geometrik progressiyaning hadlari bo’ladi? (Har bir progressiya 500 ta haddan iborat)
Javob: (64;4096)
46. m,n,p sonlari geometrik progressiyani tashkil qiladi. m+n, n+p, p+m sonlari arifmetik progressiyani tashkil qiladi. Geometrik progressiyaning maxrajini aniqlang.
Javob: (1 yoki -2)
47. a,b,c sonlari arifmetik progressiyani, a-1,b-4,c-3 sonlari geometrik progressiyani tashkil qiladi. Agar geometrik progressiyaning chetki hadlari ko’paytmasi arifmetik progressiyaning o’rta hadidan 2 ga ortiq bo’lsa, bu sonlarni aniqlang.
Javob: (2,7,12 yoki 10,7,4)
48. Uchta son arifmetik progressiyani tashkil qiladi. Agar bu uchta son kvadratga ko’tarilsa, tartibi o’zgarmagan holatda geometrik progressiyani tashkil qiladi. Geometrik progressiyaning maxrajini toping.
Javob: ( 3 )
49. Geometrik progressiyaning dastlabki uchta hadi yig’indisi 21 ga, ularning kvadratlari yig’indisi 189 ga teng bo’lsa, birinchi had va maxrajini toping.
Javob: (12; ½) va (3;2)
50. Uchta son geometrik progressiyani tashkil qiladi. Bu sonlarning uchinchisidan to’rtni ayirsak arifmetik progressiyani hosil bo’ladi. Hosil bo’lgan arifmetik progressiyaning ikkinchi va uchinchi hadlaridan 1 ayirilsa, geometrik progressiya hosil bo’ladi. Bu sonlarni toping.
Javob: (1/9, 7/9,49/9 yoki 1,3,9)
51. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig’indisi 4 ga, hadlarining kublari yig’indisi 192 ga teng. Progressiyaning birinchi hadini va marajini toping.
Javob: (6; -1/2)
52. Chetki sonlarning yig’indisi 21 ga, o’rta sonlarning yig’indisi 18 ga teng bo’lgan shunday to’rtta sonning topingki dastlabki uchtasi geometrik progressiyani, oxirgi uchtasi arifmetik progressiyani tashkil qilsin.
Javob: (3,6,12,18 yoki 18,75;11,25;6,75;2,25)
53. Geometrik progressiyaning dastlabki uchta hadlari yig’indisi 91 ga teng. Agar bu sonlarga mos ravishda 25,27 va 1 sonlari qo’shilsa, hosil bo’lgan sonlar arifmetik progressiyani tashkil qiladi. Geometrik progressiyaning yettinchi hadini toping.
Javob: (5103 yoki 7/81)
54. Uchta son geometrik progressiyani tashkil qiladi. Bu sonlardan ikkinchisini 2 ga oshirsak arifmetik progressiya hosil bo’ladi. Agar arifmetik progressiyani oxirgi hadini 9 ga oshirsak geometrik progressiya hosil bo’ladi. Bu sonlarni toping.
Javob: (4;8;16 yoki 4/25;-16/25;64/25)
55. Geometrik progressiyani hosil qiluvchi shunday uchta son topingki, bu sonlarning ko’paytmasi 64 ga, o’rta arifmetigi 14/3 ga teng bo’lsin.
Javob: (2,4,8 yoki 8,4,2)
56. S_n – musbat hadli {b_k}geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi. T_n – }ko’rinishdagi progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi. Agar bo’lsa, b₂ ning qiymatini toping.
A)2 B)1 C)3 D)4