=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

6.3. Teoremalarning tuzilishi va ularning turlari
Biror bir fanni aksiomatik qurish uchun ba'zi bir tushunchalar, mosliklar va munosabatlar ta'rifsiz qabul qilinadi. Bu ta'rifsiz qabul qilingan tushunchalar, mosliklar va munosabatlarning hammasini boshlang’ich tushunchalar deymiz. So’ngra ana shu dastlabki tushunchalarning orasidagi bog’lanishlarni ifodalovchi jumlalarni aksiomalar (aksioma – to’g’riligi hayotda tasdiqlangan, isbotsiz qabul qilinadigan matematik jumla hisoblanadi. Chekli sondagi fikrlar(aksiomalar) isbotsiz qabul qilinadi. Chekli sondagi aksiomalarni birgalikda aksiomalar sistemasi deyiladi. Tushunchalarning asosiy bo’lmagan va ta'riflarga kiritilmagan xossalari, odatda isbotlanadi, ya'ni ta'riflardan, aksioma va ilgari isbotlangan xossalardan natija sifatida keltirib chiqariladi. Tushunchalarning isbot qilinadigan xossalari ko’pincha teoremalar, ba'zan natijalar yoki alomatlar deb ataladi. Algebrada - formulalar, ayniyatlar, qoidalar deb ataladi.
Matematika fanini o’rganish jarayonida turli teoremalarni isbotlashga to’g’ri keladi. Teoremalar algebra, geometriya va matematikaning boshqa sohalarida isbotlanadi. Teoremalar qanday bo’lmasin ularni rostligi isbotlash bilan tekshiriladi.
Teoremalarni tuzilishi masalasini matematik logika tushunchalaridan foydalanib o’rganiladi.
1-misol. 1-teorema. Agar berilgan son raqamlari yig’indisi 3(9) ga bo’linsa, bu son 3(9) ga bo’linadi. Bu teorema natural sonlar to’plamida ikkita predikatni implikatsiyasidan iborat ekanligini qurish mumkin. Agar x - ixtiyoriy natural son bo’lsa, A(x) - "x sonning raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linadi", B(x) - "x son 3 ga bo’linadi". Bu holda yuqoridagi 1-teoremani A(x)=>B(x) ko’rinishda yozish mumkin, bu impilikatsiya ixtiyoriy x natural son uchun rost bo’ladi. Shunday qilib berilgan 1-teoremani quyidagicha yozish mumkin.
(xN)(A(x)=>B(x)) (1)
2-misol. 2-teorema. Agar to’rtburchakning qarama-qarshi tomonlari teng bo’lsa, u holda bu to’rtburchak parallelogram bo’ladi.
Bu teorema to’rtburchaklar to’plamida ikkita predikatlarning-implikatsiyasidan iborat bo’ladi.
Barcha to’rtburchaklar to’plamini X orqali ifodalaylik, A(x) - "x to’rtburchakda qarama-qarshi tomonlari teng", B(x) - "x to’rtburchak parallelogram". Bu holda berilgan 2-teoremani quyidagicha yozish mumkin.
(xN)(A(x)=>B(x)) (2)
Yuqoridagilardan ko’rinadiki, har qanday teoremani ikkita predikatlarning implikatsiyasi ko’rinishda yozish mumkin ekan, ya'ni
(xX)(A(x)=>B(x))
Bu teorema quyidagicha tuzilishga ega bo’ladi.
1. A(x) - teoremaning sharti
2. B(x) - teoremaning xulosasi
3. (xX) - teoremaning tushuntirish qismi, bu yerda X, A(x) va B(x) predikatlarni rostlik sohasi (aniqlash sohasi).
Ba'zi teoremalar "Agar... bo’lsa, ... bo’ladi" ko’rinishida bo’lmasligi mumkin.
3-misol: 3-teorema. Rombning dioganallari o’zaro perpendikulyar. Bu teoremani quyidagicha ifodalash mumkin:
Agar to’rtburchak romb bo’lsa, uning dioganallari perpendikulyar bo’ladi. Bu teoremani predikatlar yordamida quyidagicha yozish mumkin.
A(x) - "x – to’rtburchak romb"
B(x) - "x – to’rtburchakning dioganallari o’zaro perependikulyar".
X - barcha turtburchaklar to’plami. Bu teoremani ifodasi (xX)(A(x)=>B(x)) ko’rinishga ega bo’ladi.
(xX)(B(x)=>A(x)) teorema (xX)(A(x)=>B(x)) teoremaga teskari teorema deyiladi. Bulardan ko’rinadiki, berilgan teoremada shartini xulosasi bilan almashtirilsa, unga teskari teorema hosil bo’ladi.
4-misol. 4-teorema. Agar natural son 3(9) ga bo’linsa, uning raqamlari yig’indisi 3(9) ga bo’linadi.
Bu teorema 1-teoremaga teskari teoremadir.
(xX)(A(x)=>B(x)) teoremada B(x) shart A(x) uchun zaruriy shart. A(x) esa B(x) uchun yetarli shartdir.
Agar (xX)(A(x)=>B(x)) va (xN)(B(x)=>A(x)) teoremalar rost bo’lsa, uni (xN)(A(x)<=>B(x)) ko’rinishda yozamiz. Bunda A(x) va B(x) shartlar biri ikkinchisiga zarur va yetarlidir.
(xX)( => ) teorema (xX)(A(x)=>B(x)) teoremaga qarama-qarshi teorema deyiladi.
(xX)( => ) va (xX)(A(x)=>B(x)) teoremalar bir-biriga qarama-qarshisiga teskari teoremalar deyiladi. (xX)(A(x)=>B(x)) teoremani rostligini isbotlash uchun, (xX)( => ) teoremaning rostligini isbotlansa. Teoremani isbotlashning bu usulini teskaridan faraz qilib isbotlash usuli deyiladi.