=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

1.5.O`ndan farqli pozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar
bajarish
Istalgan k≠10 sanoq sistemasida arifmetik amallar o`nlik sanoq sistemasidagi kabi bajariladi. Buning uchun avval bir xonali sonlarni qo`shish va ko`paytirish jadvalini tuzib olish muhim. Bu jadvallarga asoslanib ayirish va bo`lish amali ham bajariladi.
Deylik, k= 7 bo1sin. Jadvalni pifagor jadvali ko`rinishida tuzish qulay:

	0	1	2	3	4	5	6
0	0	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6	10
2	2	3	4	5	6	10	11
3	3	4	5	6	10	11	12
4	4	5	6	10	11	12	13
5	5	6	10	11	12	13	14
6	6	11	12	13	14	15	16

Bu yerda satr va ustundagi sonlarning kesishishida son ularning yig`indisini beradi. Bu jadvalga asoslanib, yettilik sanoq sistemasida qo`shamiz: 3426₍₇₎+2351₍₇₎

+	3426(7) 2351(7)
6110(7)

Shu jadvaldan foydalanib ayirish amalini bajaramiz: 2356₍₇₎- 435₍₇₎

-	2356(7) 435(7)
1621(7)

Endi yettilik sanoq sistemasida ko`paytirish jadvalini tuzamiz:

	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	11	13	15
3	0	3	6	12	15	21	24
4	0	4	11	15	22	26	33
5	0	5	13	21	26	34	42
6	0	6	15	24	33	42	51

Ko`paytirish amalini bajaramiz: 235₍₇₎ ∙15₍₇₎

x	2356(7) 15(7)
15512

+2356
42402
Bo`lish amali ham yuqoridagi jadvalga asoslanadi:

	60603	16
-	54	3204
	36
-	35
	103
-	103
	0

1.6. Bir sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemasiga o`tish
O`nli bo`lmagan sanoq sistemalaridan o`nli sanoq sistemasiga o`tish. Asosi k bo`lgan sanoq sistemasida yozilgan a_(k) = ko`rinishidagi sonni a<sub>(k)</sub>= a<sub>n</sub>∙k<sup>n</sup>+ a<sub>n–1</sub>∙k<sup>n–1</sup>+…+ a<sub>2</sub>∙k<sup>2</sup>+ a<sub>1</sub>∙k+ a<sub>0</sub> deb yozib olamiz. Bu yerda koeffisientlar a<sub>n</sub>, a<sub>n–1</sub>, … a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>0</sub> va k o`nli sanoq sistemasida yozilgan. Shunga ko`ra k asosda yozilgan sonning o`nli sanoq sistemasida yozuviga o`tish uchun a<sub>(k)</sub>= a<sub>n</sub>∙k<sup>n</sup>+ a<sub>n–1</sub>∙k<sup>n–1</sup>+…+ a<sub>2</sub>∙k<sup>2</sup>+ a<sub>1</sub>∙k+ a<sub>0</sub> ifodani o`nli sanoq sistemasidagi kabi bajarib, uni o`nli sanoq sistemasidagi yozuvini hosil qilamiz. Masalan 478<sub>(9)</sub>=4∙9<sup>2</sup>+7∙9+8=324+63+8=395<sub>(10)</sub> bo`ladi.
Sonning o`nli sanoq sistemasidagi yozuvidan k asosli sanoq sistemasidagi yozuviga o`tish uchun quyidagi xolni qarab chiqamiz: a_(k)= a_n∙kⁿ+ a_n–1∙k^n–1+…+ a₂∙k²+ a₁∙k+ a₀ ni a_(k)= k(a_n∙k^n-1+ a_n–1∙k^n–2+…+ a₂∙k + a₁) + a₀ deb yozish mumkin. Bunda a₀<k bo`lganligidan, a<sub>0</sub> ni a<sub>(k )</sub> sonining k ga bo`lgandagi qoldiq deb qarash mumkin. Demak bunda a₀< k qoldiq, a_n∙k^n-1+ a_n–1∙k^n–2+…+ a₂∙k + a₁ to`liqsiz bo`linma bo`ladi. Xuddi shuningdek, a<sub>1</sub>< k ni to`liqsiz bo`linmani k ga bo`lgandagi qoldiq deb qarash mumkin va hokazo. Mana shu qonuniyatga asoslanib, sonning o`nli yozuvidan k asosli sistemadagi yozuviga o`tish amalga oshiriladi. a₍₁₀₎= _sonini k ga o`nli sistemada bo`lish qoidasi bo`yicha qoldiqli bo`lamiz. Hosil bo`lgan qoldiq sonning k asosli sistemadagi yozuvining oxirgi raqami bo`ladi. Chiqqan bo`linmani yana k ga bo`lamiz. Endigi qoldiq sonning oxiridan bitta oldingi yozuvi bo`ladi. Jarayonni davom ettirib, a₍₁₀₎ ni k asosli sistemadagi barcha raqamlari topiladi. Masalan: 589₍₁₀₎=x₍₇₎ ni topaylik:

	589	7
-	56	84	7
	29	-7	12	7
	- 28	14	- 7	1	7
	1	14	5	- 0	0
		0		1

Demak, 589₍₁₀₎= 1501₍₇₎ bo`ladi.
Berilgan ixtiyoriy asosli sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemasiga o`tish uchun avval o`nli sanoq sistemasiga, so`ngra so`ralayotgan sanoq sistemasiga o`tiladi. Masalan: 214₍₅₎ = x₍₇₎
Yechamiz: 214₍₅₎=2∙5²+1∙5+4=36₍₁₀₎. 36₍₁₀₎= x₍₇₎

36	7
35	5	7
1	0	0
	5

bundan, 36₍₁₀₎= 51₍₇₎ va 214₍₅₎ = 51₍₇₎ bo`ladi.
Savollar
1. O‘nli bo‘lmagan pozitsion sanoq sistemalarida sonlar qanday yoziladi?
2. O‘nli bo‘lmagan pozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar qanday
bajariladi?
3. Bir sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemasiga o‘tish qoidalarini ayting va
asoslang.
4. Ikkilik sanoq sistemasi haqida ma’lumot bering.

Misollar
1 – misol. 5007₈ sonni oltilik sanoq sistemasiga o`tkazing.
Yechish: Berilgan sonni oldin 10 lik sanoq sistemasiga o`tkazamiz. Buning uchun berilgan sonni хona birliklarining yig`indisi ko`rinishida yozib olamiz va natijani topamiz.: 5 · 8³+0 · 8²+7=5 · 512+7=2560+7=2567.
Endi 10 lik sanoq sistemasidagi 2567 sonni 6 lik sanoq sistemasiga o`tkazamiz, buning uchun berilgan sonni 6 ga bo`lamiz, bo`lishni bo`linmada 6 dan kichik son hosil bo`lgunga qadar davom etamiz.

2567	6
24	427	6
16	-42	71	6
12	7	- 6	11	6
47	6	11	- 6	1
42	1	6	5`

5 5
Demak, 5007₈=2567=15515₆
2 – misol. 10010₂ va 11000₂ sonlarning yig`indisi va ko`paytmasini toping.
Yechish: 2 lik sanoq sistemasida qo`shish va ko`paytirish jadvalini tuzamiz.

+	0	1		×	0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	10		1	0	1

Jadvaldan foydalanib berilgan sonlarning yig`indisi va ko`paytmasini topamiz.
10010₂
11000₂
101010₂
3 – misol. 23012₄ – 2323₄ yig`indini va ayirmani hisoblang.
Yechish: 4 lik sanoq sistemasining alfaviti 0, 1, 2, 3 lardan iborat.

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	10
2	2	3	10	11
3	3	10	11	12

4 – misol. 32012­₄­ · 2312₄

×	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	10	12
3	0	3	12	21