=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

Savollar
1. Nomanfiy butun sonlar to‘plamida bo‘linish munosabati ta’rifini ayting.
2. Bo‘linish munosabati qanday xossalarga ega?
3. Nomanfiy butun sonlar to‘plamida yig‘indi, ayirma va ko‘paytmaning bo‘linishi haqida teoremalarni ayting va birortasini isbotlang.
4. Bo‘linish alomati deb nimaga aytiladi? Qanday sonlarga bo‘linish alomatlarini bilasiz? Birortasini keltirib chiqaring.

Misollar
1 – misol. Agar toq son bo`lsa, u holda ni 8 ga bo`linishini isbotlang.
Isboti: Har qanday toq sonni ko`rinishda yozish mumkin. Bu erda shartga ko`ra ni 8 ga bo`linishini isbotlashimiz kerak. Qavslarni ochib chiqaylik: . Ma’lumki, 2 ta son ketma – ket kelgan sonlar ko`paytmasi 2 ga bo`linadi. Ko`paytmada 4 soni mavjud, demak 8 ga bo`linadi.
Shunday qilib ni 8 ga bo`linishini isbotladik.
2 – misol. Matematik induksiya metodi yordamida ni 5 ga bo`linishini isbotlang.
Yechish: , ni 5 ga bo`linishini ko`rsataylik: 15 – 1= 0, 0 : 5. Demak chin. uchun chin deb faraz qilamiz, ya’ni . Berilgan tasdiqni uchun chinligini isbotlaymiz.

Birinchi qavsda turgan ifoda farazimizga ko`ra 5 ga bo`linadi, ikkinchi qavsda esa 5 ko`paytuvchi bor. Yig`indi biror songa bo`linishi uchun har bir qo`shiluvchini shu songa bo`linishi kifoya. Demak . Bundan berilgan tasdiq iхtiyoriy uchun o`rinli ekanligi kelib chiqadi.
3 – misol. ifodani iхtiyoriy da 24 ga bo`linishini isbotlang.
Isboti: berilgan ifoda 24 ga bo`linadi. (chin).
bo`lsin, u holda quyidagiga ega bo`lamiz: Bu ifoda 4 koeffisient mavjudligi uchun 4 ga bo`linadi, bundan tashqari 2 ta ketma – ket kelgan natural sonlar ko`paytmasi 2 ga bo`linadi . Demak, ko`paytma 8 ga bo`linadi. Bu ko`paytmani 3 ga bo`linishini isbotlasak ifodani 24 ga bo`linishini isbotlagan bo`lamiz. Buning uchun quyidagi 3 holni ko`ramiz:
a) 3 ga bo`linadi, ya’ni .
b) sonni 3 ga bo`lganda 1 qoldiq hosil bo`ladi, ya’ni .
v) sonni 3 ga bo`lganda 2 qoldiq hosil bo`ladi, ya’ni .
Birinchi holda:
Ko`paytmada 3 koeffisent borligi uchun 3 ga bo`linadi.
Ikkinchi holda:
Ko`paytmada 3 koeffisent bor, shuning uchun ko`paytma 3 ga bo`linadi.
Uchinchi holda:
Ko`paytmada 3 koeffisent bor, shuning uchun ko`paytma 3 ga bo`linadi.
Shunday qilib berilgan ifoda 8 va 3 ga qoldiqsiz bo`linadi. 8 va 3 o`zaro tub son bo`lganligi uchun , ya’ni 24 ga bo`linadi.
Demak berilgan ifoda 24 ga bo`linadi. Shuni isbot qilish kerak edi.