=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

2.4. Tub va murakkab sonlar¹
1-ta`rif. O`zi va bir sonidan boshqa bo`luvchilari bo`lmagan sonlar tub sonlar deyiladi. Masalan, 17, 19, 23 sonlari tub sonlardir. Eng kichik tub son deb 2 qabul qilinadi.
2-ta`rif. bo`luvchilari soni ikkitadan ko`p bo`lgan sonlar murakkab sonlar deyiladi. Masalan 4, 9, 21, 32 sonlari murakkab sonlardir.
1 soni tub ham murakkab ham emas, chunki uning bitta bo`luvchisi bor xolos.
Tub sonlar quyidagi xossalarga ega:
1°. Agar r tub soni 1 dan farqli birorta n soniga bo‘linsa, r = n bo‘ladi.
Isbot: haqiqatdan ham r ≠ n bo‘lsa, r sonining 3 ta turli bo‘luvchisi bor bo‘ladi: 1, r, n. Bu esa shartga zid, demak, r-tub son bo‘la olmaydi.
2°. Agap r va q turli tub sonlar bo‘lsa, r tub son q tub songa bo‘linmaydi.
Isbot: r tub son bo‘lgani uchun u faqat 1 ga va r ga bo‘linadi. q ≠ r va g ≠1 (q -tub son, 1 tub son emas) bo‘lgani uchun
3° Agar a va b natural sonlar ko‘paytmasi r tub songa bo‘linsa, bu sonlardan biri r ga bo‘linadi.
Isbot: Faraz qilaylik , u holda r -tub son bo‘lgani uchun ularning 1 dan boshqa umumiy bo‘luvchisi yo‘q ab r => b r.
4°, 1 dan katta istalgan natural sonning hech bo‘lmaganda 1 ta tub bo‘luvchisi bor.
Isbot: Teskarisini faraz qilaylik, 1 dan katta, birorta ham tub bo‘luvchisi yo‘q natural sonlar mavjud bo‘lsin. Bunday sonlar to‘plamini A bilan belgilasak, unda eng kichik son mavjud bo‘ladi, chunki natural sonlar to‘plami quyidan chegaralangan. Eng kichik element a bo‘lsin. a>1 bo‘lgani uchun u yoki tub, yoki murakkab son bo‘lishi kerak. a - tub son bo‘la olmaydi, chunki aA va farazga ko‘ra a ning tub bo‘luvchisi yo‘q. a -murakkab son bo‘lsa, u o‘zidan va 1 dan farqli biror b natural bo‘luvchiga ega bo‘lar edi. bA, chunki b<a. Demak, b ning biror r tub bo‘luvchisi bor, u holda tranzitivlik xossasiga ko‘ra, bu farazimizga zid. Demak 1 dan katta barcha natural sonlar hech bo‘lmaganda 1 ta tub bo‘luvchiga ega.
5°. a murakkab sonning eng kichik tub bo‘luvchisi dan katta emas.
Isbot: a -murakkab son, r -uning eng kichik– tub bo‘luvchisi bo‘lsin. U holda a = bp bo‘ladi. Bundan kelib chiqadiki r  b, aks holda b ning tub bo‘luvchilari r dan kichik bo‘lib, a soni r dan kichik tub bo‘luvchiga ega bo‘lib qolar edi. r  b , tengsizlikning ikkala qismini r ga ko‘paytiramiz. r<sup>2</sup>  b = a ni hosil qilamiz, Bundan r<sup>2</sup> ≥ a va r ga ega bo‘lamiz.
Bu xossadan sonning tub yoki murakkabligini tekshirishda, sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratishda foydalaniladi. Masalan: 137 sonini olaylik 121<137<144 ya’ni 11<sup>2</sup><137<12<sup>2</sup> bundan 11 < < 12. Demak, 137 soni 12 dan kichik tub sonlarga bo‘linmasa, tub son bo‘ladi. 137 soni 2, 3, 5, 7, 11 sonlarining birortasiga ham bo‘linmaydi. Demak, 137 -tub son. 2, Eratosfen g‘alviri.
Tub sonlar jadvalini tuzishning qulay usulini eramizdan avvalgi III asrda Aleksandriyada yashagan grek matematigi va astronomi aniqlagani uchun uni Eratosfen g‘alviri deb ataladi.
Bu usulga ko‘ra 2 dan biror n natural songacha bo‘lgan barcha natural sonlar yozib chiqiladi. So‘ng 2 dan boshqa barcha 2 ga karrali sonlar o‘chiriladi, bunda 2 dan boshqa barcha juft sonlar, ya’ni har ikkinchi son o‘chiriladi. 2 dan keyin o‘chirilmay qolgan 1 - son 3, endi 3 dan tashqari barcha 3 ga karrali sonlarni o‘chiramiz, bunda 3 dan boshlab har 3-son o‘chiriladi, ba’zi sonlar 2 martadan o‘chiriladi. 3 dan keyin o‘chirilmay qolgan son 5 bo‘lgani uchun 5 dan tashqari barcha 5 ga karrali, ya’ni har 5 -sonni o‘chiramiz. Shu taxlit l dan katta bo‘lmagan o‘chirilmay qolgan songacha davom ettiriladi.
Natijada n gacha bo‘lgan barcha tub sonlar qatoriga ega bo‘lamiz. Masalan n = 40 bo‘lsin. Quyidagi qatorga ega bo‘lamiz.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
1 dan 40 gacha bo‘lgan tub sonlar quyidagilardan iborat:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
Tub sonlar to‘plamining cheksizligi. Tub sonlar to‘plamining cheksiz ekanligi eramizdan avvalgi III asrda Aleksandriyada yashagan grek matematigi Evklid tomonidan isbot qilingan.
Evklid teoremasi: Tub sonlar to‘plami cheksizdir. Isbot: tub sonlar to‘plami chekli deb faraz qilaylik. U holda R = {r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>,...r<sub>n</sub>} tub sonlar to‘plamiga ega bo‘lamiz. a = r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>,...r<sub>n+1</sub> sonni hosil qilaylik. a soni tub emas, chunki u a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,...a<sub>n</sub> tub sonlarning hammasidan katta va barcha tub sonlar to‘plami R ga kirmaydi. a soni murakkab ham bo‘la olmaydi, chunki 4° ga ko‘ra barcha murakkab sonlarning kamida 1 ta tub bo‘luvchisi bo‘lishi kerak, bu tub bo‘luvchi r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>,...r<sub>n</sub> tub sonlarning biri bo‘lishi kerak, lekin a soni bu tub sonlarning birortasiga ham bo‘linmaydi, (ularning har biriga bo‘lganda 1 qoldiq chiqadi). Demak, R to‘plamga kirmaydigan 1 ta bo‘lsa ham tub son bor ekan. Bu qarama - qarshilik farazimiz noto`g`riligini ko‘rsatadi. Demak, tub sonlar to‘plami cheksiz ekan.
Arifmetikaning asosiy teoremasi.Matematikada ko‘pincha sonni ko‘paytuvchilarga ajratish, yoki uning bo‘luvchilarini topish masalasiga duch kelamiz. Shu o‘rinda quyidagi teoremani bilib qo‘yish foydalidir. Bu teoremani natural sonlar arifmetikasining asosiy teoremasi deyiladi va quyidagicha ifodalanadi:
Teorema. Har bir murakkab son yagona usul bilan tub sonlar ko‘paytmasiga ajratiladi.
Isboti: Teoremada sonning tub sonlar ko`paytmasiga ajratishning mumkinligi va bunday ko‘paytmaning yagonaligi haqida gapiriladi. Bu tasdiqlarni alohida isbot qilamiz. Tasdiqlarning birinchisini teskarisini faraz qilish yo‘li bilan isbot qilaylik: Faraz qilamiz, tub sonlar ko‘paytmasi shaklida yozib bo‘lmaydigan murakkab sonlar mavjud. Ularning to‘plamini A bilan, to‘plamning eng kichik elementini a bilan belgilaymiz. a- murakkab son va u tub ko‘paytuvchilarga ajralmaydi. a murakkab son bo‘lgani uchun uning o‘zidan kichik murakkab bo‘luvchilari bor: a₁a₂ bo‘lsin. a₁2 bo‘lgani uchun a₁ a₂ sonlari A to‘plamga kirmaydi, demak ular yoki tub sonlar ko‘paytmasiga ajraladi. a₁=p₁...r_n a₂=q₁...q_n bo‘lsin, u holda a=p₁...p_nq_i...q_n shaklda tub ko‘paytuvchilarga ajraladi va bu farazimizga zid. Demak, tub sonlar ko‘paytmasiga ajralmaydigan murakkab son bo‘lishi mumkin emas.
Ikkinchi tasdiqni isbotlaymiz, ya’ni murakkab sonning tub sonlar ko‘paytmasi ko‘rinishida yagona usul bilan yozish mumkin. Faraz qilaylik, turlicha tub sonlar ko‘paytmasiga ajraladigan murakkab sonlar mavjud, ularning to‘plami A va eng kichik elementi a bo‘lsin. Farazga ko‘ra a=r₁...r_m va a=q₁...q_k. Tengliklarning o‘ng tomonlarini tenglaymiz: p₁...p_m= q₁...q_k.
Bu tenglikning chap qismi p_i ga bo‘linadi, demak o‘ng qismi ham bo‘linishi kerak, tub sonlar bo‘lgani uchun, ularning biri, masalan, ga bo‘linadi, tub sonlar xossasiga ko‘ra bo‘ladi. Tenglikning ikkala qismini p₁ ga bo‘lsak, soniga ega bo‘lamiz, bo‘lgani uchun s>a va u A to‘plamga tegishli bo‘lmaydi, demak u tub sonlar ko‘paytmasi shaklida yagona usul bilan yoziladi. Demak, yoyilmalar tarkibiga ko‘ra bir xil va faqat ko‘paytuvchilar tartibi bilangina farq qilishi mumkin. U holda ham bir xil sonlardan iborat bo‘ladi. Bu esa, . farazimizga zid. Demak, istalgan murakkab son faqat bir xil usul bilan tub sonlar ko‘paytmasiga ajratiladi va turli ko‘paytmalar mavjud bo‘lsa, ular faqat ko‘paytuvchilar tartibi bilan farq qiladi. Bunday ko‘paytmada odatda sonning tub bo‘luvchilari o‘sib borish tartibida, bir xil ko‘paytuvchilarni esa, daraja ko‘rinishida yoziladi. Ko‘paytmaning bu shaklini sonning kanonik yoyilmasi deyiladi. a sonining kanonik yoyilmasi shaklida bo‘ladi, bu yerda p1
₂<...
_n.
Masalan, 150=2x3x5x5 bo‘lsa, kanonik yoyilmasi 2xZx5² ko‘rinishida, 2000 soni uchun esa, 200=2³x5² ko‘rinishida bo‘ladi.