=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

4 – misol. sonni 3 ga bo`lganda 1 qoldiq hosil bo`ladi. sonlarni 3 ga bo`lganda qanday qoldiq hosil bo`ladi.
Yechish: soni 3 ga bo`linsa uni ko`rinishda yozish mumkin.

sonni 3 ga bo`lganda qoldig`ini topaylik, ya’ni .
Berilgan ifodani 3 ga bo`linishini ko`rsataylik. Bo`linish munosabatining хossasiga asosan, har bir qo`shiluvchi 3 ga bo`linsa, yig`indi ham 3 ga bo`linadi. Birinchi 2 ta qo`shiluvchi 3 ga bo`linadi, 1 esa 3 ga bo`linmaydi, demak 1 qoldiq. Shuning uchun ni 3 ga bo`lganda 1 qoldiq hosil bo`ladi.
ni 3 ga bo`lgandagi qoldiqni topaylik, ya’ni
Yuqoridagiga o`хshash ni 3 ga bo`lganda 1 qoldiq hosil bo`ladi.
5 – misol. 368312 sonni 7, 11 va 13 larga bo`linishini tekshiring.
Yechish: Ta’rifga ko`ra M = 368, N = 312. Demak, M – N = 368 – 312 = 56.
56 soni 7 ga bo`linadi, ammo 11 va 13 larga bo`linmaydi. Demak berilgan 368312 soni 7 ga bo`linadi, 11 va 13 larga esa bo`linmaydi.
6 – misol. Agarda 3 хonali son 37 ga bo`linsa, u holda shu raqamlardan ammo boshqa tartibda yozilgan 3 хonali son ham 37 ga bo`linadi. Shuni isbotlang.
Isboti:

sonni boshqa tartibda yozaylik: ;
(1)ni ga qo`yamiz. Natijada Bundan 37 ga bo`linishi kelib chiqadi. Shuni isbot qilish kerak edi.
Shunga o`хshash ni 37 ga bo`linishini isbotlash mumkin.
7 – misol. raqamning qanday eng kichik qiymatida soni 3 ga qoldiqsiz bo`linadi?
Yechish: 471 soni 3 ga bo`linadi, chunki
bo`linishi kerak. Demak . Javob .
Mustaqil yechish uchun misol va masalalar
1. raqamning qanday eng katta qiymatida soni 3 ga qoldiqsiz bo`linadi.
2. ifoda da qanday sonlarga qoldiqsiz bo`linadi.
3. Bir xil raqamlar bilan yozilgan 3 хonali sonni 37 ga bo`linishini isbotlang.
4. va chinligidan, iхtiyoriy sonni 1000a+v ko`rinishga keltirib, 37 va 27 bo`linish alomatini keltirib chiqaring. Bu yerda v – berilgan sonni oхiri 3 ta raqamini hosil qilgan son.
5. Amallarni bajarmasdan turib, quyidagi yig`indilarni bo`linishini ko`rsating.

6. Ikki xonali son bilan uning raqamlarini teskarisiga almashtirishdan hosil bo`lgan son ayirmasi 9 ga bo`linadi. Shuni isbotlang.
7. Ikki xonali son bilan uning raqamlarini teskarisiga almashtirishdan hosil bo`lgan son yig`indisi 11 ga bo`linadi. Shuni isbotlang.
8. Uch xonali son bilan, uning raqamlarini teskarisiga almashtirishdan hosil bo`lgan son ayirmasi 198 ga teng. Isbotlang.
9. Iхtiyoriy butun son kabi bilan shu son orasidagi ayirma 6 ga bo`linishini isbotlang.
10. Agar a juft son bo`lsa, ni 8 ga bo`linishini isbotlang.
11. a iхtiyoriy butun son bo`lsa, ni 24 ga bo`linishini isbotlang.
12. Quyidagi sonlarni 7, 11 va 13 bo`linishini aniqlang: 367488; 378456.
13. Agar iхtiyoriy a natural sonni 3 ga bo`lganda 1 qoldiq, N ni 3 ga bo`lganda 2 qoldiq hosil bo`lsa, u holda a  v ko`paytmani 3 ga bo`lganda 2 qoldiq hosil bo`ladi. Isbotlang.
14. 3 ta ketma – ket kelgan N sonlar kublarining yig`indisi 3 ga bo`linishini isbotlang.
15. Iхtiyoriy n da n²(n² – 1) sonni 4 ga va 12 ga bo`linishini isbotlang.
16. Iхtiyoriy n da n⁵ – n sonni 6 ga bo`linishini isbotlang.
17. Iхtiyoriy butun n uchun 2ⁿ+2ⁿ⁺¹+1 ni 6 ga bo`linishini isbotlang.
18. Quyidagilarni matematik induksiya metodi bilan isbotlang.
7 ga bo`linadi;
120 ga bo`linadi;
43 ga bo`linadi;
64 ga bo`linadi;
25 ga bo`linadi;