=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

5 – misol. 573₈ va 413₈ sonlar ustida arifmetik amallarni bajaring.
Yechish: 8 lik sanoq sistemasining alfaviti 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sonlardan iborat.

+	0	1			2	3	4		5	6		7
0	0	1			2	3	4		5	6		7
1	1	2			3	4	5		6	7		10
2	2	3			4	5	6		7	10		11
3	3	4			5	6	7		10	11		12
4	4	5			6	7	10		11	12		13
5	5	6			7	10	11		12	13		14
6	6	7			10	11	12		13	14		15
7	7	10			11	12	13		14	15		16
+ 5738 4138
12068
- 5738 4138
1608

×	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Mustaqil yechish uchun misollar va masalalar

1. 
   1110001₂ sonni sakkizlik sanoq sistemasida yozing.
   
2. 
   2304­₅ va 7526₈ sonlarni o`nlik sanoq sistemasida yozing.
   
3. 
   87927 va 5275 sonlarni oltilik sanoq sistemasida yozing.
   
4. 
   100022₃ va 13572 sonlarni 12 lik sanoq sistemasida yozing.
   
5. 
   1487, 7693 va 1009 sonlarni 8 lik va 2 lik sistemasida yozing.
   
6. 
   Quyidagi sonlarni 10 lik sanoq sistemasida yozing: 15402₈; 11000111₂; 526₇; 1324₅
   
7. 
   Quyidagi sonlar yig`indisini toping: 442₅ va 134₅; 1031₅ va 134₅
   
8. 
   Amallarni bajaring va tekshiring:
   

a) 222₃ :2₃ d) 1221₃ :11₃ f) 3275₈ :15₈
b) 111111₂ :11₂ e) 2222₃ :12₃ g) 125246₇ :11₇

9. 
   M = 5401₆ va N = 3052₆ sonlar berilgan. Ularni ikkilik sanoq sistemasida yozib, ikkala sanoq sistemasida arifmetik amallarni bajaring.
   
10. 
    23456₁₀ = 125246_х, х ni toping.
    
11. 
    Amalarni bajaring:
    

a) 3275₈ +362₈ b) 5235₆ -3421₆ d) 3412₅ 21₅ e) 302102₄ :121₄
f) 563₈ +217₈ 15₈ [phone] :17₈ g) 5501₆ -3052₆ +3455₆
h) 202112₃ [phone] i) 132₈ 47₈ +2451₈

12. 
    M = 2154₆ va N = 3345₆ sonlarni 4 lik sanoq sistemasiga o`tkazing va arifmetik amallarni bajaring.
    
13. 
    R = 3320₈ va Q = 1534₈ sonlarni 5 lik sanoq sistemasiga o`tkazing va arifmetik amallarni bajaring.
    
14. 
    R = 1475₈ va Q = 1020₈ sonlarni 3 lik sanoq sistemasiga o`tkazing va arifmetik amallarni bajaring.
    
15. 
    M = 5401₆ va N = 3052₆ sonlarni 2 lik sanoq sistemasiga o`tkazing va arifmetik amallarni bajaring.
    

2§. Nomanfiy butun sonlar to‘plamida bo`linish munosabatlari
2.1.Nomanfiy butun sonlar to‘plamida sonlarning
bo‘linishi
Sonlarni bo`linishi nomanfiy butun sonlar to`plamida qaraladi. Lekin sonning biror songa qoldiqsiz bo`linishi masalasi ularning ayirmasi yoki yig`indisi kabi aniqlanmaydi. Masalan nomanfiy butun sonlar to`plamida a va b sonlarining ayirmasi mavjudligini sonning yozuviga qarab ≤ yoki ≥ munjsabatlarning birini bajarilishiga ko`ra aniqlanadi. Yig`indi va ko`paytma esa har doim mavjud. a va b sonlarini bo’linish yoki bo`linmasligini bo`lish amalini bajarmay turib aniqlash uchun ham ba`zi alomatlar mavjud.
1-ta`rif. Butun nomanfiy a soni natural b soniga qoldiqsiz bo`linsa, a soni b soniga bo’linadi yoki karrali deyiladi. Va b soni a sonini bo`luvchisi deyiladi.
Ta`rifdan kelib chiqadiki, b soni a sonini bo`luvchisi bo`lsa, shunday c soni mavjudki, a=b∙c bo`ladi. Yani (aN<sub>0</sub> bN) (c N<sub>0</sub>)(a b  a = bc).
Masalan, 6 soni 42 sonining bo`luvchisi bo`ladi, yoki 42 soni 6 ga karrali. Chunki 42=6∙7 bol`adi.
«Sonning bo‘luvchisi» tushunchasi umuman «bo‘luvchi» tushuchasidan farq qiladi. Sonning bo‘luvchisi shu sondan katta bo‘lmagani uchun bo‘luvchilar to‘plami cheklidir. Sonning karralilari to‘plami cheksizdir. a N₀ uchun na ko‘rinishdagi barcha sonlar x ga karrali bo‘ladi, bu erda nN₀ .
Bo`luvchilar soniga qarab natural sonlar tub va murakkab sonkarga ajraladi.
Bo‘linish munosabati quyidagi xossalarga ega:
1°. Bo‘linish munosabati refleksiv, ya’ni ixtiyoriy natural son o‘ziga bo‘linadi, (a N) (a a), chunki 1 N<sub>0</sub>, a = a•1(ta’rifga ko‘ra). Bundan har qanday butun nomanfiy son birga bo`linishi kelib chiqadi.
2°. Bo`linuvchanlik munosabati antisimmetrikdir. Ya’ni a b dan har doim b a kelib chiqmaydi.
Isbot: b a bo`lishi uchun b≥a bo`lishi kerak. Lekin bizda a b va a≥b. Bundan a b va b a bir vaqtda faqat a=b bo`lganda bajariladi.
3°. Bo‘linish munosabati tranziv, ya’ni
Isbot:
bo‘linish ta’rifiga ko‘ra .
6°. 0 soni istalgan natural songa bo‘linadi, ya’ni
7°. 0 dan farqli istalgan son 0 ga bo‘linmaydi

Isbot: teskarisini faraz qilaylik bu teorema shartiga zid. Demak,
8°. 0:0 amali aniqlanmagan. Chunki, 0:0 = a bo‘lsin, 0 = 0•a bajariladigan a- istalgan natural son bo‘lishi mumkin. Algebraik amal uning natijasi mavjud va yagona bo‘lsagina aniqlangan bo‘ladi. 0:0 natijasi istalgan son bo‘lgani uchun bu amal aniqlanmagan deyiladi.

2.2.Butun nomanfiy sonlarning yig`indisi, ayirmasi va ko`paytmasining
bo`linuvchanligi
1- teorema. Agar bir nechta natural sonlar s soniga bo‘linsa, ularning yig’indisi ham s ga bo‘linadi.
Isbot: deylik a va b sonlari c ga bo`linsin. Bundan shunday t, p N mavjudki, a= c∙t va b= c∙p bo`ladi o`rniga qo`ysak: a+b=c∙t+ c∙p= c(t+p). t+p=d deb belgilasak, a+b=cd bo`ladi. Bundan (a+b) c (ta’rifga ko‘ra). a₁,a₂,…a_n sonlarining har biri c ga b o`linsa ularning yig`ndisi ham c ga bo`linishi shu kabi isbotlanadi. Berilgan teoremaga teskari teorema to‘g’ri emas.
2–teorema. Agar a ≥ b bo`lib,a va b sonlar c ga bo‘linsa, a-b ham c ga bo‘linadi.

Isboti 1-teorema kabi.
3 -teorema. Agar ko`paytmada ko‘paytuvchilardan biri natural c songa bo`linsa, ko‘paytma ham c ga bo‘linadi. Ya’ni,
Isbot: a∙b ko`paytmada a c bo`lsin. U holda t  N mavjudki, a =c ∙ t bo`ladi. Bundan a∙b=c∙t∙b=c ∙(t ∙b) va (t ∙b)≥0 => a∙b c.
Ko`paytuvchilar soni n ta bo`lgan hol uchun ham teorema shunday isbot qilinadi.
4-teorema. Agar ko‘paytuvchilardan biri m ga, ikkinchisi n ga bo‘linsa, ko‘paytma mn ga bo‘linadi.
Isboti 3 - teorema kabi.
5-teorema. Agar yig’indida 1 ta qo`shiluvchi n  N ga bo`linmasa, qolgan hamma qo`shiluvchilar n  N ga bo`linsa ham yig`indi n N ga b o`linmaydi.
<sub>Isbot:</sub> c=a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+…+a<sub>n</sub>+r, va a<sub>1 m, a2 m,…an m, lekin oxirgi qo`shiluvchi r soni m ga</sub> karrali bo`lmasin. Bundan yig`indi c ham m ga karrali emasligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, c <sub>m bo`lsin. c yig`indini quyidagi ko`rinishda yozib olamiz: r=c-</sub> (a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+…+a<sub>n</sub>). Bu yerda shartga ko`ra (a₁+a₂+…+a_n) _{m va farazga ko`ra c m. Bundan, yuqoridagi 2-teoremaga ko`ra r m bo`ladi. Bu esa teorema shartiga zid. Demak qo`shiluvchilardan biri r m emasligidan yig`indi c m emasligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.}