=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

Xorazmiy usuli
Hozirgi belgilashlarda
1) ildiz sanog’ini yarimlat, bu 5 bo’ladi;
2) yarimlangan ildiz sanog’ini o’z-o’ziga ko’paytir, bu 25 bo’ladi;
3) yarimlangan ildiz sanog’ining kvadratidan yigirma birni ayir, bunda 4 qoladi;
4) to’rtdan kvadrat ildiz chiqarsang 2 bo’ladi;
5) yarimlangan ildiz sanog`idan 2 ni ayirsang 3 bo’ladi;
6) agar xohlasang yarim ildiz sanog’iga 2 ni qo’shsang 7 bo’ladi;

Demak, tenglamaning ikkala ildizi ma'lum bo’ldi.

Xorazmiy yozadi: Bilingki, agar ildizlar sanog’i yarmining kvadrati yigirma bir dirhamdan kichik bo’lsa, masala yechilmaydi; agar teng bo’lsa, masala bitta yechimga ega ekanligi aniqlanadi.
Ushbu izlanishlar hozirgi zamon matematik mantiq va kibernetika fanlarining muhim qismi bo’lgan algoritmlar nazariyasida asosiy rol o’ynaydigan tushunchalardan biri - algoritm tushunchasi yaratilishiga asos bo’ldi.
Boshlang’ich sinflarda algoritmlar
a) O’nli sanoq sistemasida yozilgan ko’p xonali sonlarni qo’shish algoritmi umumiy ko’rinishda mana bunday ifodalanadi:
1. Ikkinchi qo’shiluvchini tegishli xonalar bir-birining ostiga tushadigan qilib birinchi qo’shiluvchining ostiga yozamiz.
2. Birlar xonasidagi raqamlar qo’shiladi. Agar yig’indi 10 dan kichik bo’lsa, uni javobdagi birlar xonasiga yozamiz va keyingi xonaga o’tamiz.
3. Agar birlar raqamlarining yig’indisi 10 dan katta yoki 10 ga teng bo’lsa, uni 10+C₀, bunda C₀ - bir xonali son ko’rinishda yozamiz: C₀ ni javobdagi birlar xonasiga yozamiz va birinchi qo’shiluvchidagi o’nlar raqamiga 1 ni qo’shamiz, keyin o’nlar xonasiga o’tamiz.
4. O’nlar bilan yuqoridagi amallarni bajaramiz, keyin yuzlar bilan va hokazo. Yuqori xona raqamlari qo’shilgandan keyin bu jarayonni to’xtatamiz.
b) 1. Ayriluvchini mos xonalar bir-birini ostida bo’ladigan qilib kamayuvchining ostiga yozamiz.
2. Agar ayriluvchining birlar xonasidagi raqam kamayuvchining tegishli raqamidan katta bo’lmasa, uni raqamidan katta bo’lmasa, uni kamayuvchining raqamidan ayiramiz, so’ngra keyingi xonaga o’tamiz.
3. Agar ayriluvchining birlar raqami kamayuvchining birlar raqamidan katta, ya'ni a₀0 bo’lib, kamayuvchining o’nlar raqami noldan farqli bo’lsa, kamayuvchining o’nlar raqamini bitta kamaytiramiz, shu vaqtning o’zida birlar raqami 10 ta ortadi, shundan keyin 10+a₀ sonidan b₀ ni ayiramiz va natijani ayrmaning birlar xonasiga yozamiz, so’ngra keyingi xonaga o’tamiz.
4. Agar ayriluvchining birlar raqami kamayuvchining birlar raqamidan katta bo’lib, kamayuvchining o’nlar, yuzlar va boshqa xonasidagi raqamlar nolga teng bo’lsa, kamayuvchining noldan farqli birinchi raqamini olib, uni bitta kamaytiramiz, kichik xonalardagi barcha raqamlarni o’nlar xonasigacha 9 ta orttiramiz, birlar xonasidagi raqamini esa 10 ta orttiramiz va 10+a₀ ni ayiramiz. Natijani ayirmaning birlar xonasiga yozamiz va keyingi xonaga o’tamiz.
5. Keyingi xonada bu jarayonni takrorlaymiz.
6. Kamayuvchining katta xonasidan ayirish bajarilgandan keyin ayirish jarayoni tugallanadi.
Bo’lish va ko’paytirish algoritmlari ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi.
Bayon qilingan algoritmlarni amalda qanday bajarilishiga misollar keltiramiz.

Qo’shish. 312+415 317+428 337+487

1)					2)						3)							4)
+	312				+		312				+		312					+			312
	415						415						415								415
							7						27								727
Ayirish. 786-235
1)					2)						3)							4)
-	786				-		786				-		786					-			786
	235						235						235								235
							1						51								551
Bo’lish. 4004:4
1)					2)						3)							4)
	4004	4					4004	4					4004		4					4004		4
	4	1					4	10					4		100					4		1001
	-				-		0						00								00
							0						0								0
							-				-			0						0
														0						0
													-								4
																					4
																					-

II BOB. Nomanfiy butun sonlar
1§. Sanoq sistemalari.
1.1. Sanoq sistamasi tushunchasi
Kundalik turmushimizni sonlar, ularning yozuvi, turli hisob - kitoblarsiz umuman tasavvur etib bo`lmaydi. Sonlarning paydo bo`lishi va yozuvi uzoq o`tmishga borib taqaladi. Oddiy matematik tushunchalarni – predmetlarning shakli va miqdor munosabatlari – insoniyatning ilk tarixiy davrida shakllangan. Ilk insoniyat sanash uchun barmoqlari to`plamiga predmetlar to`plamini mos qo`yishgani fanda ma`lum. Yana tayoqchalar , tugunlar, o`yiqlar ham ularga sanash va hisoblash uchun yordam bergan. Keyinchalik predmetlar sanog`ini yozuvda ifodalash zarurati tug`ildi va insoniyat buning uchun turli ifodalardan foydalana boshladi (rasmlardan, belgilardan, va nihoyat sonlar yozuvidan). Matematik tushunchalar, shu jumladan sanoq sistemalarining vujudga kelishi va rivojlanishi insonni yashash uchun mehnat qurollarini ishlata boshlagan davri bilan bog`langan. Biz hozirgi kunda foydalanayotganimiz o`nli sanoq sistemasi bo`lib, matematik hisob - kitoblar va yana turli sohalarda asosan shu sanoq sistemasidan foydalanamiz. O`nli sanoq sistemasi tarix fani taxminiga ko`ra eramizning VI asrida hindistonliklar tomonidan qo`llana boshlangan. Yevropaga X-XII asrlardan asosan Markaziy Osiyolik olimlarning qo`lyozmalari asosida tanilgan. Bu davrda Markaziy Osiyoda fan tili arab tili bo`lganligidan bu raqamlar arab raqamlari, allomalar ham arab olimlari atamasiga ega bo`lgan.
1-ta`rif. Sanoq sistemasi deb sonlarni yozish, o‘qish va ular ustida amal bajarish usuliga aytiladi.
2-ta`rif. Berilgan sonning yozuvidagi belgilar o‘rnashgan o‘rniga qarab turli xil ma’noni anglatsa, bunday sanoq sistemasi pozitsion (pozitsion-pozitsiya so`zidan olingan) sanoq sistemasi deyiladi. Ya`ni, raqamlar sonda o`z pozitsiyasiga ega.
0, 1, 2..... 9 dan iborat raqamlar deb ataluvchi belgilar yordamida yozilgan sonlar o‘nlik sanoq sistemasida yozilgan sonlar deyiladi va u pozitsion sanoq sistemasidir. Masalan, d) 1101 -bu erda birinchi o‘rinda turgan 1 raqami 1ta bir likni bildirsa, 3-o‘rinda turgan 1 raqami 1 ta yuzlikni, 4-o‘rinda turgan 1 raqami 1 ta minglikni anglatadi.
3-ta`rif. Agar raqamlar sonning qaysi o`rnida kelishidan qat`iy nazar o`z ma`nosini o`zgartirmasa, bu sanoq sistemasi pozitsion bo`lmagan – nopozitsion sanoq sistemasi deyiladi. Bunga qadimgi rim raqamlari, qadimgi Vavilonda sonlar yozuvi, qadimgi grek va slavyan yozuvlari misol bo`ladi.

1.2.O’nlik sanoq sistemasida sonlarning yozilishi
Bizga ma`lumki, o`nli sanoq sistemasida 0 dan 9 gacha bo`lgan raqamlardan foydalanamiz, ya`ni sonlarni shu belgilar yordamida ifodalaymiz. Bu raqamlar ketma - ketligi turli son xonalarini ifodalaydi. Masalan 7892 dan iborat belgilar 7 ming + 8yuz + 9 o`n + 2 birlik sonini ifodalaydi. Bu yig`indining yoyilmasi quyidagicha ifodalanadi: 7∙10³ +8∙10²+9∙10+2∙10⁰. Ya`ni istalgan son o`nning darajalari bilan ifodalanadi.
2-ta`rif. a natural sonining o`nli sanoq sistemasida yozuvi deb bu sonni
a=a_n∙10ⁿ+a_n-1∙10^n-1+ a_n-2∙10^n-2+∙∙∙+a₂∙10²+ a₁∙10+a₀ ko`rinishda yozishga aytiladi. a<sub>1</sub>….a<sub>n</sub> koeffisiyentlar 0 dan 9 gacha qiymatlar qabul qiladi va a<sub>n</sub>≠0.
10<sup>n</sup> , 10<sup>n-1</sup>,… 10<sup>2</sup> ,10,1 xona birliklari deyiladi, bitta xonaning 10 ta birligi keyingi xonaning 1 ta birligini tashkil qiladi, 10 esa sanoq sistemaning asosi deyiladi.
a=a<sub>n</sub>∙10<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>∙10<sup>n-1</sup>+ a<sub>n-2</sub>∙10<sup>n-2</sup>+∙∙∙+a<sub>2</sub>∙10<sup>2</sup>+ a<sub>1</sub>∙10+a<sub>0</sub> berilgan sonni a=a<sub>n</sub>a<sub>n-1</sub>∙∙a<sub>2</sub>a<sub>1</sub>a<sub>0</sub> ketma - ketlik ko`rinishida yozish mumkin.
Sonlar yozuvidagi o`ngdan dastlabki uchta xona bitta sinfga birlashtirilib, birlar sinfi deyiladi. Bular birlar, o`nlar, yuzlar xona birliklaridir. Keyingi uchta raqam ikkinchi sinf bo`lib, minglar sinfi deyiladi. Bu sinfga minglar, o`n minglar, yuz minglar xona birliklari kiradi. Keyingi uchta xona birligi millionlar sinfini tashkil qiladi va hokazo.