=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

Savollar
1. Teoremani predikat va mantiqiy amallar yordamida yozing.
2. Berilgan teskari teoremani yozing.
3. Berilgan teoremaga teskari teorema bilan qarama-qarshi teoerma orasida qanday farq bor?
4. Qanday shartlar yetarli va zaruriy shart deyiladi?
5. Qarama-qarshisiga teskari teoremalarga misollar keltiring.

Mustaqil yechish uchun misol va masalalar
1. Quyidagi teoremalarga teskari bo’lgan tasdiqlarni ifodalang. Hosil bo’lgan teskari tasdiqlardan qaysi biri rost, ya'ni teorema bo’la oladi?
a) Agar ratsional sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda u fundamentaldir;
b) Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda u chegaralangandir;
d) Agar uchburchak teng yonli bo’lsa, u holda uning asosiga yopishgan burchaklari tengdir;
e) Agar to’rtburchak romb bo’lsa, u holda uning dioganallari o’zaro perpendikulyardir;
f) Parallelogramm dioganallari kesishish nuqtasi uning simmetriya markazidir;
g) Agar qo’shiluvchilarning har biri juft son bo’lsa, u holda yig’indi ham juft sondir;
h) Agar to’rtburchakka aylana ichki chizish mumkin bo’lsa, u holda bu to’rtburchak rombdir;
i) Agar parallelogramm romb bo’lsa, u holda uning dioganallari o’zaro perpendikulyardir;
j) Agar ax²+bc+c=0 (a≠0) kvadrat tenglamaning ozod hadi c nolga teng bo’lsa, u holda bu tenglamaning ildizlaridan biri nolga tengdir;
k) Agar ketma-ketlik monoton va chegaralangan bo’lsa, u holda bu ketma-ketlik limitga ega.
2. 2.25-mashqda keltirilgan tasdiqlar uchun qarama-qarshi bo’lgan tasdiqlarni ifodalang. Ulardan qaysi birlari to’g’ri, ya'ni teorema bo’la oladi? Bu savolga berilgan javoblarni 2.25 - mashqda berilgan ikkinchi savolga berilgan javoblar bilan solishtiring. Ular mos tushadimi? (Agar qandaydir ikkita javob ustma-ust tushmasa, ulardan biri noto’g’ridir).
3. Quyida berilgan har bir teorema uchun barcha teoremalarni toping, ya'ni berilgan tasdiq uchun rost bo’lgan teskari va qarama-qarshi bo’lgan tasdiqlarni (agar ular mavjud bo’lsa), qarama-qarshisiga teskari bo’lgan tasdiqlarni toping.
a) Agar a=0 va b=0 bo’lsa, u holda a²+b²=0 (a va b lar haqiqiy sonlar).
b) Agar a butun son b butun songa bo’linsa, hamda b butun son c butun songa bo’linsa, u holda a butun son c butun songa bo’linadi.
d) Agar ab ko’paytma c ga bo’linsa va a son c ga bo’linmasa, u holda b son c ga bo’linadi.
e) Agar a son c ga bo’linsa va b son c ga bo’linsa, u holda a+b ham c ga bo’linadi.
f) Agar aylanaga ikkita burchak ichki chizilgan bo’lsa va ular bitta yoyga tiralgan bo’lsalar, u holda bu burchaklar o’zaro tengdir.
g) Agar to’rtburchakda ikkita qarama-qarshi tomonlar teng bo’lib, parallel bo’lsa, u holda bu to’rtburchak parallelogrammdir.
h) Agar ikkita vatarlar o’zaro teng bo’lgan doiralarga tegishli bo’lib, o’zaro teng bo’lsalar, u holda bu vatarlar doira markazlaridan bir xilda uzoqlashgandirlar.
i) Agar a tekislik o’zaro parallel bo’lgan ikki to’g’ri chiziqning bittasiga perpendikulyar bo’lsa, u holda bu tekislik ikkinchi to’g’ri chiziqqa ham perpendikulyardir.
j) Agar  tekislik  tekislikka perpendikulyar bo’lgan a to’g’ri chiziq orqali o’tsa, u holda  va  tekisliklar o’zaro perpendikulyardirlar.
4. Quyida berilgan har bir teorema uchun barcha teskari va qarama-qarshi teoremalarni toping, hamda teoremaga teskari bo’lgan teoremaning qarama-qarshisini toping.
a) Agar butun son 12 ga bo’linsa, u holda bu son 3 ga ham, 4 ga ham bo’linadi;
b) Agar to’g’ri to’rtburchak kvadrat bo’lsa, u holda uning dioganallari o’zaro perpendikulyar va burchaklarni teng ikkiga bo’linadi;
d) Agar parallelogramm kvadrat bo’lsa, u holda uning dioganallari teng, o’zaro perpendikulyar hamda kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi;
e) Agar piramida asos tekisligiga parallel bo’lgan tekislik bilan kesilgan bo’lsa, u holda uning yon qirralari va balandligi bu kesim orqali proportsional qismlarga ajraydi, bu holda kesimda hosil bo’lgan ko’pburchak piramida asosidagi ko’pburchakka o’xshash bo’ladi, hamda kesim yuzi va piramida asosining yuzi nisbati ularning piramida uchigacha bo’lgan masofalari nisbatining kvadratiga teng bo’ladi.
5. Quyidagi teoremalarning mantiqiy strukturasini aniqlang va ularga teskari va qarama-qarshi bo’lgan barcha teoremalarni toping.
a) Agar to’rtburchakda qarama-qarshi tomonlar o’zaro parallel bo’lsa, u holda ular o’zaro tengdir;
b) Agar to’g’ri chiziq ikkita tekislik kesishish chizig’iga parallel bo’lsa, u holda bu to’g’ri chiziq tekisliklarning har biriga ham paralleldir;
d) a tekislik va undan tashqarida o’tgan a to’g’ri chiziq parallel bo’ladi, agarda a tekislikda yotuvchi va a to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan to’g’ri chiziq mavjud bo’lsa;
e) Agar ikkita kesishuvchi tekisliklardan birida yotuvchi va ikkinchi tekislikka perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq mavjud bo’lsa, u holda bu tekisliklar paralleldir;
f) a to’g’ri chiziq a tekislikka perpendikulyar bo’ladi, agarda a to’g’ri chiziq a tekislikni kesib o’tsa, hamda a tekislikda a to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan va o’zaro parallel bo’lmagan ikkita to’g’ri chiziq mavjud bo’lsa.
6. Quyidagi teoremalar berilgan: "Bitta doirada yoki tengdosh bo’lgan doiralarda: 1) katta vatar markazga yaqinroqdir; 2) teng vatarlar markazdan teng uzoqlashgandirlar; 3) kichik vatar markazdan uzoqroqda joylashgandir". Bu teoremalarga teskari bo’lgan tasdiqlarning o’rinli ekanligini to’la diz’yunksiya prinsipidan foydalanib isbotlang va teskari teoremalarni ifodalang.
7. Quyidagi uchta teoremalarga teskari bo’lgan teoremalarni ifodalang: "Musbat son a uchun: 1) agar bc bo’lsa, u holda ab>ac". Teskari teoremalar uchun isbot zaruriyati bormi? Javobingizni asoslang.
8. Butun sonlar to`plamida quyidagi predikatlar berilgan:
C(x) : “x – 24 sonining bo`luvchilari”
D(x) : “x – 72 sonining bo`luvchilari”.

1. 
   Berilgan to`plamda D(x) predikat C(x) predikatdan logik kelib chiqishini isbotlang?
   
2. 
   Agar . . . bo`lsa, u holda . . . so`zlar yordamida gap tuzing va teoremaning qismlarini ko`rsating?
   

d) “zarur va etarli” so`zlar yordamida gap tuzing.