2-mavzu: tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari

Yechilishi. X ning mumkin boʻlgan qiymatlarini yozamiz:
x = 50, x= 1, x = 0.
Bu mumkin boʻlgan qiymatlarning ehtimollari quyidagicha;
p= 0,01, p= 0,1, p= 1—(p+p)=0,89.
Izlanayotgan taqsimot qonunini yozamiz:
X 50 10 0
p 00,1 0,1 0,89
Tekshirish. 0,01+0,1+0,89 = 1.
Binomial taqsimot
Faraz kilaylik, n ta erkli sinash oʻtkazilayotgan boʻlib, ularning har birida A hodisa roʻy berishi yoki roʻy bermasligi mumkin boʻlsin. Har bir sinashda hodisaning roʻy berishi oʻzgarmas va p ga teng (demak, hodisaning roʻy bermaslik ehtimoli q=1-p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sifatida bu sinashlarda A hodisaning roʻy berish sonini olamiz.
Oʻz oldimizga X miqdorning taqsimot qonunini topish masalasini qoʻyamiz. Bu masalani hal etish uchun X ning mumkin boʻlgan qiymatlari va ularning ehtimollarini aniqlash talab qilinadi.
Koʻrinib turibdiki, n ta sinashda A hodisa yo roʻy bermaydi, yoki 1 marta, yoki 2 marta, ..., yoki n marta roʻy berishi mumkin. Shunday qilib, X ning mumkin boʻlgan qiymatlari quyidagicha:

Bu mumkin boʻlgan qiymatlarining ehtimollarini topish qoldi, buning uchun Bernulli formulasidan foydalanish yetarlidir:
_(*)
bu yerda k = 0,1,2,... ,n.
(*) formula izlanayotgan taqsimot qonunining analitik ifodasidir.
Ehtimollarning binomial taqsimoti deb, Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimollar taqsimotiga aytiladi.
Qonunning “binomial” deyilishiga sabab, (*) formulaning oʻng tomonini Nyuton binomi yoyilmasining umumiy hadi sifatida qarash mumkin:

Shunday qilib, yoyilmaning birinchi pⁿ hadi qaralayotgan hodisaning n ta sinashda n marta roʻy berish ehtimolini, np^n-1q ikkinchi hadi hodisaning n-1 marta roʻy berish ehtimolini, ..., oxirgi qⁿ hadi hodisaning bir marta ham roʻy bermaslik ehtimolini aniqlaydi.
Binomial qonunini jadval koʻrinishda yozamiz:

Puasson taqsimoti
Har birida A hodisaning roʻy berish ehtimoli p ga teng boʻlgan n ta erkli sinash oʻtkazilayotgan boʻlsin. Bu sinashlarda hodisaning k marta berish ehtimolini topish uchun Bernulli formulasidan foydalaniladi.

Bu formula ommaviy (n katta) kam roʻy beradigan (p kichik) hodisalar ehtimollarining Puasson taqsimoti qonunini ifodalaydi.