2-mavzu: tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari

Natija. Bir nechta oʻzaro erkli masodifiy miqdorlar koʻpaytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari koʻpaytmasiga teng.
Misol. Erkli X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlari orqali berilgan:
X 5 2 4 Y 7 9
p 0,6 0,1 0,3 g 0,8 0,2.
XY tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
Yechilishi. Berilgan miqdorlarning har birining matematik kutilishini topamiz:
M(X) =5·0,6+2·0,1 +4·0,3=4,4;


M(Y) =7·0,8 + 9·0,2 = 7,4.
X va Y tasodifiy miqdorlar erkli boʻlganligi uchun izlanayotgan matematik kutilish quyidagiga teng:
= 4,4·7,4=32,56.
Natija. Bir nechta oʻzaro erkli masodifiy miqdorlar koʻpaytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari koʻpaytmasiga teng.
Masalan, uchta tasodifiy miqdor uchun:

4-xossa. Ikkita tasodifiy miqdor yigʻindisining matematik kutilishi qoʻshluvchilarning matematik kutilishlar yig’indisiga teng:

Isboti. X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlar orqali berilgan boʻlsin:

X + Y ning barcha mumkin boʻlgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X ning mumkin boʻlgan har bir qiymatiga Y ning mumkin boʻlgan har bir qiymatini qoʻshamiz: ni hosil qilamiz. Bu qiymatlarning ehtimollarini mos ravishda orqali belgilaymiz.
X+Y miqdorning matematik kutilishi mumkin boʻlgan qiymatlarni ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻindisiga teng:

Yoki



ekanligini isbotlaymiz. X tasodifiy miqdor x₁ qiymatni qabul qilish hodisasi (bu hodisani ehtimoli p₁ ga teng) X+Y tasodifiy miqdor yoki qiymatni qabul qilish hodisasini (bu hodisaning ehtimoli qoʻshish teoremasiga koʻra ga teng) ergashtiradi va aksincha. Bundan tenglik kelib chiqadi. Ushbu tengliklar xam shunga oʻxshash isbotlanadi. Bu tengliklarning oʻng tomonlarini (*) munosabatga qoʻyib quyidagini hosil qilamiz:

yoki uzil-kesil
.
Natija. Bir nechta tasodifiy miqdorlar yigʻindisining matematik kutilishi qoʻshiluvchilar matematik kutilishlarining yigʻindisiga teng.
Masalan, uchta qoʻshiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz.