Teorema. Chetlanishning matematik kutilish nolga teng:
.
Isboti. Matematik kutilishining xossalaridan (ayirmaning matematik kutilishi matematik kutilishlar ayirmasiga teng, oʻzgarmas sonning matematik kutilishi oʻsha oʻzgarmasning oʻziga teng) foydalanib va M(X) oʻzgarmas ekanligini nazarda tutib, quyidagini hosil qilamiz:
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb, tasodifiy miqdorni oʻzining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi:
. Tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan boʻlsin:
U holda chetlanish kvadrati quyidagi taqsimot qonuniga ega bo’ladi:
Shunday qilib, dispersiyani hisoblash uchun chetlanish kvadratining mumkin boʻlgan qiymatlarini ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻindisini hisoblash kifoya.
Misol. Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan X diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
X 1 2 5
p 0,3 0,5 0,2.
Yechilishi. Matematik kutilishni topamiz:
M(X)= 1· 0,3 +2· 0,5 +5· 0,2= 2,3.
Chetlanish kvadratining mumkin boʻlgan barcha qiymatlarini topamiz:
= (1-2,3)²=1,69;
= (2 - 2,3)²=0,09;
=(5 -2,3)²= 7,29.
Chetlanish kvadratining taqsimot qonunini yozamiz:
1,69 0,09 7,29
p 0,3 0,5 0,2.
Taʼrifga koʻra dispersiya quyidagiga teng:
D(X)= 1,69 ·0,3 +0,09· 0,5+7,29· 0,2 = 2,01.
Teorema. Dispersiya X miqdor kvadratining matemamik kutilishidan X ning matematik kutilishi kvadratini ayirilganiga teng:
Isboti. M(X) matematik kutilish oʻzgarmas miqdor. demak, 2M(X) va M²(X) ham oʻzgarmas miqdorlardir. Buni nazarda tutib va matematik kutilishning xossalaridan (oʻzgarmas koʻpaytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, yigʻindining matematik kutilishi qoʻshiluvchilar matematik kutilishlarining yigʻindisiga teng) foydalanib, dispersiya taʼrifini ifodalovchi formulani soddalashtiramiz:
