21 Diferensialın hesablama düsturları

36)Triqonometrik funksiyaların inteqrallanması

1) Əgər inteqral   şəklindədirsə, onda     əvəzləməsi onu   şəklində inteqrala gətirir.

►2) Əgər inteqral   şəklində olarsa, onda o,     əvəzləməsi ilə rasional funksiya inteqralına gətirilər.

►3) İnteqralaltı funksiya yalnız  -dən asılı olarsa, onda     əvəzləməsi həmin inteqralı rasional funksiya inteqralına gətirir:

►4) Əgər inteqralaltı funksiya   şəklində olarsa, ancaq   və   yalnız cüt dərəcədən daxildirsə, onda həmin   əvəzləməsi tətbiq olunur, çünki   və   funksiyaları   ilə rasional şəkildə ifadə olunur:

 

►5) İndi   şəkilli bir inteqrala da baxaq: inteqral işarəsi altında   hasili durur (burada m və n tam ədədlərdir). Burada üç hala baxaq.

a)   inteqralında m və n ədədlərindən heç olmasa biri tək ədəddir. Müəyyənlik üçün n ədədinin tək olduğunu qəbul edək ( ) və inteqralı çevirək:





 əvəz edək, onda   və

olar. Bu isə t-nin rasional fnksiyasının inteqralıdır.

b)  , burada m və n mənfi olmayan cüt ədədlərdir.   qəbul edib, triqonometriyadan məlum olan düsturları yazaq:

   (3)

Bu ifadələrinin qiymətlərini inteqralda yerinə yazsaq alarıq

Qüvvətə yüksəldib, mötərizələri açdıqdan sonra   funksiyasının tək və cüt dərəcəli qüvvətlərini alarıq. Tək dərəcəli hədlər a) halında göstərilən qayda ilə inteqrallanır, cüt dərəcəli qüvvətlərin dərəcəsini isə yenə (3) düsturlarının köməyi ilə azaldırıq. Bu qaydanı davam etdirərək   həddinə gəlib çıxarıq, bu isə asan inteqrallanır.

c) Əgər hər iki qüvvət üstü cüt və heç olmasa biri mənfi olarsa, onda yuxarıda göstərdiyimiz üsül bir nəticə vermir. Bu halda   (yaxud  ) əvəzləməsi əlverişlidir.

►6) Sonda

şəklində inteqrallara baxaq. Bunlar aşağıdakı düsturların ( ) köməyi ilə hesablanır: