7-Mavzu: Mapleda differensial tenglamalarni yechish. Differensial tenglamalarni yechish funksiyalari. 1-, 2- va yuqori tartibli differensial tenglamalarni yechish

Yuqori tartibdagi tenglamalar
Biz yuqori tartibdagi tenglamalarni ham yechishimiz mumkin. Misol uchun, quyidagi tenglamada
Fan: Kompyuter algebrasi tizimlari O’qituvchi: T.Djiyanov

• 
  ans4 := dsolve( ode4, y(x) );
  ans4 := y( x )  _C1 EllipticE( 3 x2 )  _C2 ( EllipticCE( 3 x2 )  EllipticCK( 3 x2 ) )
  

0
0

0
0
7-Mavzu..
Fan: Kompyuter algebrasi tizimlari O’qituvchi: T.Djiyanov II-kurs

• 
  ode := -300*y(x) + 192*x*diff(y(x),x)+(-47*x^2+4*x^3*mu-x^4- 4*x^2*nu^2)*diff(y(x),x$2) +12*y(x)*x^2-
  

48*y(x)*mu*x+48*y(x)*nu^2+4*x^4*diff(y(x),x$4);

DEtools[ratsols] rasional funksiya yechuvchisidan foydalanib ikkita yechimini topishimiz mumkin. Tartibni qisqartirish ohirgi natijani integrallar ko'rinishida hosil qiladi:

• 
  dsolve( ode, y(x) );
  


 

2 3 4 2 2





 d  d2
dx
2
y( x )
ode := 300 y( x )  192 x  dx y( x )   ( 47 x  4 x   x  4 x  )

 


4  d4
dx
4
y( x )
 12 y( x ) x2  48 y( x )  x  48 y( x ) 2  4 x
x3
y( x )  _C1  _C2 x4



 4
_C3  x WhittakerM( , , x ) dx  
 
 WhittakerM( , , x )
x3
dx x 

7 
x3




 4

_C4  x WhittakerW( , , x ) dx  

 WhittakerW( , , x )
x3
dx x 

7 
x3


• 
  odetest( %, ode );
  0
  Maple tez test o'tkazib ma'lum ODE ikkinchi tartibdagi tenglamaning simmetrik ko'paytmasi ekanligini tekshirib ko'radi. Agar shunday bo'lsa, javob ikkinchi
  

  tartibdagi tenglamaning yechimlaridan aniqlanishi mumkin. Misol uchun, quyidagi Kemke yoki Abramovits va Stegun da ko'rish mumkin bo'lgan tenglama ode := diff(y(x),x$3) - 4*x*diff(y(x),x) - 2*y(x);

Fan: Kompyuter algebrasi tizimlari O’qituvchi: T.Djiyanov II-kurs 7-Mavzu..

Xuddi shunday q'xshash tarzda,

• 
  ode2 := diff(y(x),x$3)-6*x*diff(y(x),x$2) +2*(4*x^2+2*a-1)*diff(y(x),x)-8*a*x*y(x);
  
• 
  ans2 := dsolve( ode2, y(x) );
  
• 
  odetest(ans2, ode2 );
  

ode :=

 
3

dx  
 
 d3   d
 dx
y( x )  4 x y( x )  2 y( x )
Eyri tenglamasining simmetrik darajasiga tengdir. Shunday qilib, dsolve quyidagini hosil qiladi:

• 
  dsolve( ode, y(x) );
  y( x )  _C1 AiryBi( x )2  _C2 AiryAi( x )2  _C3 AiryAi( x ) AiryBi( x )
  

ode2 :=

3
   
  
dx dx
2
2



 d3   d2   d
y( x )  6 x y( x )  2 ( 4 x  2 a  1 )  dx y( x )   8 a x y( x )
( x2 )
 4 
1 a 1
4 4
_C1 e WhittakerM  , , x2 
2
x
ans2 := y( x ) 
( x2 )

 4
1 a 1
4 4
_C2 e WhittakerW  , , x2 
2
x

 4 
 4 
4 4 4 4
( x2 )  1 a 1  1 a 1
_C3 e WhittakerM  , , x2  WhittakerW  , , x2 
x

Fan: Kompyuter algebrasi tizimlari
O’qituvchi: T.Djiyanov
II-kurs
7-Mavzu..
Yuqoridagi metodlar bilan birgalikda, quyidagi tenglama,

• 
  ode := 2*y(x)+(-2+4*x)*diff(y(x),x)-4*x*diff(y(x),x$2)
  -diff(y(x),x$3)+diff(y(x),x$4);
  

Maplening DEtools[expsols] eksponensial yechuvchisi orqali aniqlangan yagona yechimga ega ekanligini ko'rish mumkin, keyinchalik tartibni qisqartirish simmetrik tenglamaga olib keladi. Bu quyidagini beradi

• 
  dsolve( ode, y(x) );
  

Chiziqli differensial tenglamalarning yechishdagi yaxshilanishlar tabiiy ravishda boshqa differensial tenglamalarni yechishda yaxshilanishlarga yo'l ochib beradi.

0





dx
ode := 2 y( x )  ( 2  4 x ) y( x )  4 x


 d  d2
dx
2
y( x ) 
 
 
dx
3
 

  
  d3   d4 
dx
4
y( x )  y( x )
AiryBi( x )2 e( x ) dx ex

y( x )  _C1 ex  _C2 AiryAi( x )2 e( x ) dx ex  _C3


• 
  _C4 AiryAi( x ) AiryBi( x ) e( x ) dx ex
  
  
• 
  odetest( %, ode );
  

0

Masalan, birinchi tartibda Rikatti tenglamalari yechimlarini qurish uchun odatda ikkinchi tartibdagi tenglamalarga keltiriladi. Shu tarzda, birinchi tartibdagi chiziqli sistemalari bitta yoki ko'proq yuqori tartibdagi skalyar tenglamalarni qurish orqali yechiladi va matrisa yechimlarini qurish orqali yechiladi. Yagona quyidagi misol orqali topilishi mumkin, ode := diff(y(x),x) = x + y(x) + a*y(x)^2;

Fan: Kompyuter algebrasi tizimlari O’qituvchi: T.Djiyanov II-kurs 7-Mavzu..

• 
  dsolve( ode, y(x) );
  

Yuqoridagi yechimda, AiryAi(1, .. ) va AiryBi(1,...) funksiyalari o'z o'rnida AiryAi va AiryBi funksiyalrining hosilalarini ko'rsatadi.

dx
ode := d y( x )  x  y( x )  a y( x )2

y( x )   

_C1 AiryBi 1,  1  4 a x 
( 2/3 )
4 a






( 2/3 )
4 a


 
 
( 2/3 )
4 a
1
( 2/3 )   1  4 a x   1  4 a x   2
a  _C1 AiryBi    AiryAi   

AiryAi  1 
4 a
(

a
7-Mavzu..
Fan: Kompyuter algebrasi tizimlari O’qituvchi: T.Djiyanov II-kurs
Differensial tenglamalarni echish. dsolve funksiyasi
Differensial tenglamalarni echish masalasi matematikaning asosiy masalalaridan hisoblanadi. Mapleda differensial tenglamalarni ham ahalitik ham sonli usullarda echish imkoniyatlari mavjud.
SHuningdek, yakka tartibdagi bitta differensial tenglamani va tenglamalar
funksiyasidan foydalaniladi.
sistemasini ham echish mumkin.
Differensial tenglamalarni echishda dsolve
Funksiyaning quyidagi ko’rinishlari mavlud:
dsolve(ODT) dsolve(ODT,y(x),tip) dsolve({ODT,BSH},y(x),tip)
Bunda: ODT – oddiy differensial tenglama yoki differensial tenglamalar sistemasi, BSH – Boshlang’ich shartni ifodalovchi ifoda, y(x) – bir o’zgaruvchili funksiya, tip – echilayotgan differensial tenglama echimi turini aniqlovchi parametr bo’lib u quyidagi kabi qiymatlar qabul qilishi mumkin.
Fan: Kompyuter algebrasi tizimlari O’qituvchi: T.Djiyanov II-kurs 7-Mavzu..

• 
  exact – jimlik qoidasiga mos analitik echimini topadi;
  
• 
  system – differensial tenglamalar sistemasining echimini topadi;
  
• 
  formal series – echimni kophad ko’rinishida chiqaradi;
  
• 
  numeric – sonli usulda echadi.
  Koshi masalasini echish uchun dsolve fuknsiyasi argumentiga boshlang’ich shartni ham kiritish lozim. Chegaraviy masalani echish uchun esa chegaraviy shartlarni kirittish lozim. Agar differensial tenglama boshlang’ich va chegaraviy shartlar bilan echilsa, _C1,_C2, … ko’rinishdagi o’zgarmaslar paydo bo’lmayadi.
  Differensial tenglamadagi hosila belgisi diff funksiyasi yoki D operatopi orqali ko’rsatiladi.
  Dastlab birinchi tartibli bitta oddiy differensial tenglama echishga doir misollar bilan tanishamiz:
  
•