A. M. Polatov kompyuter vositasida modellashtirish asoslari

UZLUKSIZ TIZIMLARNI MODELLASHTIRISH

1. 
   Issiqlik tarqalisb masalasi
   

Ko‘p fizik masalalar kvazigarmonikli differensial tenglama bilan ta’riflanadi va bu tenglama tarkibida vaqtga bogiiq alohida hosila bor. Natijada quyidagi tenglama hosil bo‘ladi:

№ , 5
J ( ^ai \ ( °² \( ') I 43
i 56
Ni{t + di) — Ntii) = ~aNr(i -f (dt}> or. > О, 0 < -i < 1. 63
- f +fllr - *K 97
x_e = E |(^ДИ Г ~ И (8) 99
У, = £ 107
_М.„дй±м, о) 29
s_n=ix,. (3) 49
2>„=o, («) 55

—; k..^US4x.,^U—iXr—l+Q=0‘ (2)
cv\. Ox J •' ci ; " is /
Bunday almashuvdan so‘ng fizik masalaning yechimi (1) tenglamadagi vaqt intervalining har biri uchun funksionalni minimallashtirishdan iborat bo‘ladi. Har bir minimallashtirish oldidan issiqlik o‘tkazish koeffitsiyenti va boshqa o‘lchovlar (vaqtga bog‘liq bo‘lgan oichovlar) qaytadan hisoblanishi kerak.
Masalada uch o‘lchovli jismga issiqlik ta’sir qiladi. Jismga issiqlik ta’siri boshlangandan Ac vaqtdan keyingi jism elastik parametrlarini aniqlash kerak boisin. Bu elastik parametrlarga quyidagilar kiradi:
•tugun nuqtalar siljishlari: u, v, w;

• 
  normal kuchlanishlar: o«, a_{ry! CT};
  

38

• 
  urinma kuchlanishlar: т_хг,
  

•deformatsiya intensivligi: г\;
•kuchlanish intensivligi: <>,.
Masalani yechishda temperatura maydoni aniqlangan deb faraz qilinadi va elastiklik masalasi chekli elementlar usuli yordamida yechiladi.
(1.1) tenglamasi bilan bog‘liq fimksional quyidagi ko‘rinishga
ega
- f +fllr - *K

Bu ifodasi (3.a) dan faqat hajm integralidan Q o'lchami bilan farq qiladi.

&
(3.a)

2
) ^wl ду V 8

z

Minimallashtirish natijasida (3b) va (3.v) kabi nisbatlar hosil boiadi.

№ , 5
J ( ^ai \ ( °² \( ') I 43
i 56
Ni{t + di) — Ntii) = ~aNr(i -f (dt}> or. > О, 0 < -i < 1. 63
- f +fllr - *K 97
x_e = E |(^ДИ Г ~ И (8) 99
У, = £ 107
_М.„дй±м, о) 29
s_n=ix,. (3) 49
2>„=o, («) 55

[аг⁽*>1ф] (6)
(6) ifodasini vaqtga nisbatan differensiallashtirish natijasida (7) hosil boTadi,
<

p


^ ₌ (7)
dt ¹ *dt ^w
chunki [N^(e'] faqat koordinatalar funksiyasi bo‘lib, vaqtga bog‘liq emas.

3. 
   ifodasiga (6) va (7) ifodalarini kiritsak (8) chi munosabat hosil bo‘ladi.
   

x_e = E |(^ДИ Г ~ И (8)
Bu integrallar yig‘indisi {} bo‘yicha mmimallashtirilishi kerak. {ф} bo'yicha diferensiallashtirib (9) ni hosil qilamiz.
(9)
(9.a) tenglamasidagi ikkinchi nisbat (9) nisbati bilan almashtirish kerak.
JeM«>K= ]Q[N^]dV m_v„ ,• ₍₉.a)
(9) ni (3) dagi boshqa integrallar differensiallashtirish natijalari bilan birlashtirgandan so‘ng mimmallashtirish jarayoni quyidagi differensial tenglamalar sistemasiga olib keladi.
И^+№кИ=о (10)
Matritsaning har bir elementi [К], [C] va [F] laming hissasi (1 l.a), (1 l.b) va (1 l.c) formulalari bilan ta’riflanadi.
[c"’] = \A\Nf\NW (11 .a)
V
[*^w] = \[B\‘\D\[BW + \M]dS (ll.b)
в s₃
{/(«)} = -J Q[N]^rdV + J $[JV]^r dS-1 M>„[A']^r dS (1 l.c)
У
(1 l.a)-(ll.c) munosabatlardagi barcha integrallar alohida elementlardan olinadi. Alohida elementlarning hissasini jamlash oddiy usulda amalga oshiriladi. (10) nisbati birinchi darajali chiziqli differensial tenglamalar tizimini hosil qiladi. (10) dagi [S] matritsani demfirlashtirish matritsasi deb ataladi. Bu yagonalik matritsasidir. (ll.b), (1 l.c) fonnulalardagi [K^(e!] va [f^lami aniqlovchi integrallarni yuqorida ko‘rib chiqdik.
40
Issiqlik o‘tkazish masalalarini yechishda (1) formulasida X 0‘ chami p*s ko‘paytmasiga teng, bu yerda p-zichlik, kg/m³, s esa s< :ishtirma issiqlik sig‘imi, Dj/(m³*°S), К**, K_uu, K_a o‘lchamlari у iqorida kiritilgan issiqlik o‘tkazish koeffitsiyentiga teng.
{Ф} qiymatini vaqt intervalining har bir nuqtasida olish uchun 10) chiziqli differensial tenglamani yechish kerak boTadi. Vaqt w'yicha xususiy hosilani chekli ayirmali sxema bilan almashtirib yechish mumkin. Chekli ayirmali sxemalardan markaziy ayirmali sxemani qoTlab yechamiz. e?(r) chiziqda ikkita absissasi to va tj bo‘lgan, it = t, - r₃ masofada joylashgan nuqtalar berilgan boTsin. r_; - Г; interval markazidagi 1 -tartibli hosila uchun quyidagiga ega bo' I ami z:
di? Ф-i—Ф_с.

№ , 5
J ( ^ai \ ( °² \( ') I 43
i 56
Ni{t + di) — Ntii) = ~aNr(i -f (dt}> or. > О, 0 < -i < 1. 63
- f +fllr - *K 97
x_e = E |(^ДИ Г ~ И (8) 99
У, = £ 107
_М.„дй±м, о) 29
s_n=ix,. (3) 49
2>„=o, («) 55

■^[(ГКФ}. -^ЮСФ}с -f {f}’ =0 (16)
Bu tenglamani quyidagicha yozish ham mumkin:
= (Ш+|;[С]){Ф}_с - 2Ш (17)
Tugun nuqtalardagi qiymatlar r vaqt momentida ma’lum deb hisoblab, t - it уакт uchun tugun nuqtalardagi qiymatlami (17) tenglamani yechib olish mumkin. Bunda yakuniy tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishda boTadi:
(18)
[A] matritsa [C] va [K] matritsalar kombinatsiyasidan iborat va vaqt qadami &t ga bogTiq

.

2. 
   Tenglamalar sistemasini yechish usuli
   

Aksariyat hollarda matematik modellashtirish jar: yonida tenglamalar sistemasini yechishga to‘g‘ri keladi. Tengl malar sistemasini yechish usullari biri kvadrat ildizlar usulidir. Bu usul yuqori tartibli algebrayik tenglamalar sistemasi koeffitsiyentlari simmetrik va lentalik ko‘rmishga ega bo‘lgan holda yechish uchun qulay bo‘lgan usullardan biridir.
Lining ma’nosi A6=A chiziqli tenglamalar sistemasining [A] matritsa elementlari ikki o‘zaro transponirlangan uchburchak matritsalar ko‘paytmasi ko‘rinishida tasvirlanadi: [A] = [Г]' [Г], u holda [A] (X) = (B) tenglamalar sistemasi quyidagi ikki uchburchak ko‘rinishidagi matritsali tenglamalar sistemasiga ajraladi:
ГП 00 = (B) va [T] (X) = (Y).
bu yerda
*
(ti
11 *12
0 *22 *211 0 0 t",
[T] matritsaning elementlari quyidagicha aniqlanadi: ^ai *r,
T
/-1