Algebra va sonlar nazariyasi fanidan

Teorema. Elementar mulohazalarning aynan yolg‘on bo‘lmagan ixtiyoriy formulasini MDNShga keltirish mumkin.

Ta’rif. Agar formulaning MKNShi (MDNShi) ifodasida qatnashuvchi barcha elementar mulohazalardan tuzish mumkin bo‘lgan barcha elementar diz’yunksiyalar (kon’yunksiyalar) shu ifodada ishtirok etsa, u holda bunday MKNSh (MDNSh) to‘liq MKNSh (MDNSh) deb ataladi.

Quyida berilgan variantlardagi formulalarning DNSh, KNSh, mukammal DNSh va KNSh larini hosil qiling.



Foydalanilgan teng kuchli formulalar:
1. (a)
2. (b)
3. (c)




1-ish. Berilgan formulani (a), (b) va (c) teng kuchli formulaga asosan soddalashtiramiz.



Natija ya’ni DNSh ga teng.

2-ish. Formulaga asosan berilgan F funksiyaning KNSHsini quydagicha topamiz.


Formulaning KNSH si quyidagicha:


3-ish Endi funksiyaning chinlik jadvalini tuzamiz va funksiyaning rost qiymatlariga mos bo’lgan MDNSHlarni hosil qilamiz.(1-jadval)

1-jadval.

x	Y
0	0	0	1	0	0	1	1
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	1	0	1	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	0

Jadvaldan funksiyaning chin qiymatlarni olib quyidagi amallarni bajaramiz.

{0,0,0,}, {0,0,1}, {0,1,0}, {0,1,1} va {1,1,0}, endi 3- ta’rifga ko’ra ularning kanyuksiyalar dizyunksiyasi chin qiymat qabul qilishi uchun ularning inkorlarini olamiz va quyidagicha yozamiz.



Bundan ko’rinib turibdiki bu formulaning MDNSHsi quyidagicha:


4-ish. Berilgan formulani MKNSHsini toppish uchun MDNSHda bajarilgan ishlarning teskarisini bajaramiz.
{1,0,0,},{1,0,1} va {1,1,1} ta’rifga ko’ra quyidagi ketma-ketlikni amalga oshiramiz.



Bundan ko’rinib turibdiki bu formulaning MKNSHi quyidagicha:




II BOB. MULOHAZALAR ALGEBRASI INTERPRITATSIYALARI

2.1-§. Matematikada aksiomatik metod.
Matematikada aksiomatik metod qadimgi yunoy matematiklarining ichlarida paydo bo‘ldi. Bu borada Evklidning «Negizlar» deb ataluvchi geometrik sistemasi alohida e’tiborga loyiqdir. Evklidning bu asari XIX asrgacha aksiomatik metodning yuksak namunasi sifatida xizmat qildi. Eramizdan 300 yil oldin yozilgan bu asarda Evk­lid birinchi marta aksiomalar deb ataluvchi va rostligi shubha tug‘dirmaydigan bir qancha mulohaza (da’vo)lardan sof deduktiv yo‘l bilan, ya’ni sof logik (mantiqiy) mulohazalar yordamida geometrik nazariyaning butui mazmunini keltirib chiqarish mumkinligshsh ko‘rsatgan.

XIX asrda buyuk rus matematigi N. I. Lobachevskiy va venger matematigi Ya.Bolyai tomonidan noevklid geomet­riyaning kashf etilishi aksiomatik metodning rnvojlanishida yangi pog’ona bo‘ldi.

Ular Evklid geometriyasi aksiomalari sistemasiga kiruvchi (parallel to‘g‘ri chiziqlar haqidagi) V postulatni uning inkori bilan almashtirdilar va natijada hosil bo‘lgan aksiomalarning yangi sistemasi keng mazmunga ega bo‘lgan yangi geometriya tashkil etishini ko‘rsatdilar.
Shunday qilib, aksiomatik metod matematik nazariyalarni qurish va o‘rganishda kuchli apparat ekanligi XIX asr matematiklari tomonidan to‘la-to‘kis e’tirof etildi va bu apparat matematikada keng ko‘lamda qo‘llanila boshlandi.
Aksiomatik metodning mazmuni nimadan iborat?
Odatda, qandaydir predmetlar (ob’yektlar) sistemasini o‘rganishda bu predmetlarning xossalari va ular orasidagi munosabatlarni bildiruvchi terminlardan foydalanamiz. lar shunday xossa va munosabatlar bo‘lsin. Shu xossa va munosabatlarni o’z ichiga olgan bir necha mulohazalarni olamiz hamda ularni aksiomalar deb ataymiz.
Tabiiyki, shunday to‘plam mavjud bo‘lishi mumkinki, agar larni bu to‘plamda aniqlasak, u holda bu to‘plam elementlari yuqoridagi aksiomalar sistemasini qanoatlantiradilar. Ba’zi aksiomalar sistemasi uchun bunday (bo‘sh bo‘lmagan) to‘plamlarning topilmasligi ham tabiiydir.
Masalan, quyidagi munosabatni olaylik:

« dan oldin keladi».
Bu munosabatni har xil to‘plamlarda har xil aniqlash mumkin: Odamlar to‘plamida « dan baland», « dan yengil», « ning yoshi ning yoshidan kichik» va hokazo, natural sonlar to‘plamida esa


, , va hokazo.
Mazkur munosabatni o‘z ichiga olgan quyidagi aksiomalarni olaylik:

1. «Har qanday o‘z-o‘zidan oldin kelmaydi».

   
   

2. «Har qanday lar uchun agar dan oldin kelsa va dan oldin kelsa, u holda dan oldin keladi».

   
   

Ravshanki, shunday bo‘sh bo‘lmagan to‘plam topish mum­kinki, agar unda munosabatni yetarlicha «yaxshi» aniqlasak, bu to‘plamning elementlari yuqoridagi aksiomalarni qanoatlantiradi (masalan, yuqoridagi keltirilgan to‘plamlar va munosabatlar). Bundan tashqari, yuqoridagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi to‘plamlar yagona emasligini sezish qiyin emas. Shunday qilib, har birida bitta munosabat aniqlangan va elementlari 1) va 2) aksioma­larni qanoatlantiruvchi to‘plamlar ma’lum bir sinfni tashkil etadi. U holda bu aksiomalarni mazkur sinfga kirgan to‘plamlarning ta’rifi deb qarash mumkin. Barcha ob’yektlar (predmetlar) to‘plamidan 1) va 2) aksiomalar yordamida ajratib olingan bunday to‘plamlar berilgan aksiomalar sistemasining interpretatsiyasi deyiladi.

Biror matematik nazariyani aksiomatik qurish bu nazariyada o‘rganiladigan asosiy ob’yektlar va ular orasidagi munosabatlarni keltirishdan boshlanadi. Bu ob’yektlar va munosabatlar aksiomatik nazariyaning asosiy tushunchalari deyiladi. Aksiomatik nazariyaning qolgan tushunchalari esa asosiy tushunchalar orqali ta’riflanadi; so‘ngra aksiomatik nazariyaning to‘g‘ri tuzilgan formula (TT formula)lari to‘plami hosil qilinadi va bu to‘plamning ba’zi (odatda chekli sondagi) formulalari aksiomalar deb e’lon qilinadi. Aksiomatik nazariyaga uning aksiomalar sistemasidan yangi keltirib chiqariluvchi formulalar (teoremalar)ni hosil qilish vositasi bo‘lgan keltirib chiqarish qoidalari kiritilgach, bu nazariya deduktiv nazariyaga aylanadi. Aksiomalar sistemasidan hosil qilinadigan barcha formulalar to‘plami aksiomatik sistemaning mazmunini yoki tilini tashkil etadi.