Аллакова Дилбар

МАВЗУНИ МУСТАЩКАМЛАШ УЧУН САВОЛЛАР.
1. Матрицанинг ранги нимага тенг ?
2.Матрицалар кыпайтмасининг детерминанти ща=идаги теоремани айтинг.
3. n (n>3) тартибли детерминантларни щисоблаш усуллари ща=ида гапириб беринг.


22 - МАЪРУЗА
МАВЗУ : ТЕСКАРИ МАТРИЦА
РЕЖА:
1. Детерминантларни кыпайтириш.
2. Тескариланувчи матрицалар .
3. Тескари матрицани щисоблаш усуллари.
4. Чизи=ли тенгламалар системасини матрицавий кыринишда ёзиш ва ечиш.
5. Мисоллар.
АДАБИЁТЛАР [ 1, 2, 3]

1. Детерминантларни кыпайтириш. Ушбу теорема ыринли:

Теорема. Иккита n- тартибли

детерминантларнинг кыпайтмасини яна n- тартибли детерминант

шаклида ифодалаш мумкин былиб, бунда с_{i j} элемент D₁ даги i - сатр элементлари a_i1 , a_i2 , . . . , a_in ларни D₂ даги j - устун элементлари
b_{1 j} ,b_2j , . . . ,b_nj га мос равишда кыпайтириб натижани =ышиш билан щосил =илинади, яъни
c_{i j} = a_i1b_1j + a_i2b_{2 j} + . . . + a_in b_{n j} = a_{i k} b_{k j} . (1)
Исботи. Ушбу 2n -тартибли детерминантни =араймиз:
Агар D да биринчи n та сатрини ажратиб n - тартибли минорлар тузсак фа=ат биртаси D₁ га тенг, =олганлари эса нолга тенг былади. D₁ нинг алгебраик тылдирувчиси D₂ га тенг былади . Демак,
D=D₁ D₂ (2)

Энди D даги 1- устунни b₁₁ га 2 - устунни b₂₁ га , . . . , n - устунни b_n1 га кыпайтириб n+1- устунига =ышамиз. Сынгра 1- устунни b₁₂ га , 2- устунини b₂₂ га ва х.к. n - устунини b_{n 2} га кыпайтириб n+2 - устунига =ышамиз ва х.к. давом этиб 1- устунини b_1n га , иккинчи устунини b_2n га ва х.к. n- устунини b_nn га кыпайтириб 2n - устунига =ышамиз. У щолда ушбуга эга быламиз (детерминантнинг хоссаларига кыра D нинг =иймати ызгармайди):

Агар D нинг охирги n та сатрини ажратиб шу сатрлардаги n- тартибли минорлар быйича ёйсак D= МА га эга быламиз. (Чунки фа=ат
былиб =олган барча n- тартибли минорлар нолга тенг).
Бу ерда
A= (-1)^{(n+1)+(n+2)+ . . . +2n +1+2+ . . . + n} D= (-1) ^{n+2(1+2+ . . . + n )} D= (-1) ⁿ D.

D= ( -1)ⁿ ( -1)ⁿ D =( -1)²ⁿD =D . (3)

Демак, (2) ва (3) дан D₁D₂= D.
Детерминантларни транспонирласак унинг =иймати ызгармагани учун детерминантларни кыпайтириш учун щам щозирги кыриб ытилган
“сатрларини устунларига“, быйича =оидасидан таш=ари “сатрларини сатрларига”, “устунларини сатрларига”, ”устунларини устунларига” =оидаларини =ыллаш мумкин.
Натижа. А ва В квадрат матрицалар кыпайтмасининг детерминанти шу матрицалар детерминантларининг кыпайтмасига тенг .
det (A B)=detA detB . (4)
Умуман
A₁ A₂    A_k  =  А₁    A₂      A_k  ;  A  ^k =  A^k  .
2. Тескари матрица .
Фараз этайлик F майдонда n-тартибли А матрица берилган былсин. Агар
А В = В А=Е (1)
шартни =аноатлантирувчи В n -тартибли квадрат матрица мавжуд былса, бу матрицага А га тескари матрица дейилади, ыз навбатида А щам В га тескари матрица былади . (1) дан
det (A B) = detA  detB = detЕ=1
былгани учун detA 0 ва detB  0 деган хулосага келамиз, яьни фа=ат хосмас матрицалар учун тескариси мавжуд былар экан . Бундан кейин А га тескари матрицани А^-1 билан белгилаймиз.
Берилган матрицага тескари матрицани топишнинг 2 хил усули бор:
1). Детерминантлардан фойдаланиб ;
2). Матрицадаги элементар алмаштиришлардан фойдаланиб топиш .
Аввало 1- усулни =араб чи=айлик . Фараз этайлик

матрица берилган былсин. У щолда

матрица А га тескари матрица былади. Бу ердаги A_ij A матрицадаги a_ij элементнинг алгебраик тылдирувчиси. Ща=и=атан щам


М и с о л . Берилган А матрицага тескари матрицани щисобланг.
Барча элементларга мос алгебраик тылдирувчиларни щисоблаймиз:

Текшириш:
Иккинчи усул . Aгар А хосмас n - тартибли матрица берилган былса, ушбу (АE) матрицани тызиб олиб шундай элементар алмаштиришлар бажарамизки, бунинг натижасида (EB) матрица щосил былсин. Ана шу В=А^-1 матрица А га тескари матрица былади . (Бу тасди=нинг =атъий исботи уйга муста=ил топшири=). Энди ю=ридаги мисолни иккинчи усул билан ечайлик:



4.Чизи=ли тенгламалар системасини матрицавий кыринишда ёзиш ва уни ечиш.
F майдондаги nxn- чизи=ли тенгламалар системаси

(1)

берилган былсин. Агар (1) нинг асосий матрицасини А, ноъмаълумлар устунини Х ва озод щадлар устунини b билан белгиласак, яъни

деб белгилаб олсак, (1) ни =уйидагича ёза оламиз:
AX = b . (2)
Бунга (1)-чизи=ли тенгламалар системасининг матрицавий кыринишда ёзилиши дейилади.
Агар detA  0 былса , у щолда А га тескари А^-1 матрица мавжуд былади ва A^-1AX = A^-1 b ёки (A^-1A)X = A^-1 b, бу ерда A^-1A = E ва
EX =X былгани учун
X = A^-1 b (3)
тенгликка эга быламиз.
М и с о л . Ушбу тенгламалар системасини матрицавий кыринишда ёзинг ва ечинг:

деб олсак АХ=b щосил былади. Энди A^-1 ни топайлик.

Демак, х₁ =1, х₂ =5, х₃ =3 .