Аллакова Дилбар



Yüklə 1,93 Mb.
səhifə22/24
tarix20.01.2023
ölçüsü1,93 Mb.
#79804
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   24
Аллакова Дилбар

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5)
an1 x1 + an2 x2 + ... + anj xj + ... + ann xn = bn
берилган былсин. Бу системадаги 1-тенгламани A1j га, иккинчисини А2 j га, ... , n-тенгламани Anj га кыпайтириб, тенгламаларни щадлаб =ышамиз. У щолда
(a11 A1 j + a21 A2 j + ... + an1 An j ) x1 +( a12 A1 j + a22 A2 j + ... + an1 An j) х2+...+
+( a1j A1 j + a2j A2 j + ... + anj Anjj+...+( a1n A1 j + a2n A2 j + ... + ann Annn=
=b1A1j+b2A2j+...+bnAnj .
тенгламага эга быламиз . Бундан эса (4)га асосан
1j А1j +a2j A+... + anj Anj ) хj=b1A1j+b2A2j+...+bn Anj (6)
ни щосил =иламиз. (6) нинг чап томонидаги хj номаълум олдидаги коэффициент 2-натижага кыра D га тенг. Ынг томонидаги ифода эса D даги j-устун элементларининг ырнига (5) даги озод щадлар устунини =ыйиб щосил =илинган Dj детерминантга тенг . Демак , j =Dj ёки хj=Dj / D , j=1,2,3,...,n ; яъни
х1=D1 / D, х2=D2 / D , ... , хn =Dn / D (7) формулаларга Крамер формулалари дейилади. (7) нинг (5)-чизи=ли тенгламалар системасини =аноатлантиришини бевосита унинг исталган тенгламасига =ыйиб текшириб кыриш мумкин.
(7) да D0 былиши керак, агар D=0 былса, (5) ечиш учун Крамер формуласидан фойдаланиб былмайди . ( Бу щолда (5) нинг ранги r < n топилади ва (5)да n-r та номаълумларни ынг томонга ытказиб кейин =ылласа былади).
Мисол. 2x1 - 3x2 + x3 = -1
x1 + 4x2 - 2x3 = 3
3x1 - x2 + x3 = 4 чизи=ли тенгламалар системасини Крамер формулаларидан фойдаланиб ечинг.
Аввало D, D1, D2 , D3 ларни щисоблайлик.

Бу топилган =ийматларни (7) формулаларга олиб бориб =ыйсак
х1=D1 / D =12 / 12 =1, х2=D2 / D =24 / 12 = 2 , х3 =D3 / D =36 / 12 =3
берилган системанинг ечимларига эга быламиз.
Энди ушбу теоремани исботлаймиз:
Теорема. n та номаълумли n та бир жинсли чизи=ли тенгламалар системаси нолдан фар=ли ечимга эга былиши учун унинг номаълумлари олдидаги коэффициентлардан тузилган матрицанинг детерминанти нолга тенг (D = det A=0 ) былиши зарур ва етарлидир.
Исботи. а).Фараз этайлик
ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = 0 , ( i=1,2 , ...,n) (8)
система нолдан фар=ли 12  n ечимга эга былсин. У щолда
ai11 + ai2 2 + ... + ainn = 0 , ( i=1,2 , ...,n) . (9)
Бу охирги системани =уйидагича ёза оламиз:
(a111 + a12 2 + ... + a1nn ; a211 + a22 2 + ... + a2nn ;  ;an11 + an2 2 + ... + annn) = ( 0, 0, ... , 0)
ёки
1(a11 ,a21 , ... an1)+2( a12 , a22 , ... ,an2) +  +  n( a1n , a2n , ... , ann )= 0 . (10)

(10) дан кыринадики D нинг устунлари чизи=ли бо\ланган ва демак D=0.


б). D=0 былса, у щолда детерминантларнинг хоссаларига кыра унинг устунлари чизи=ли бо\ланган. Демак, щеч былмаса бирортаси нолдан фар=ли былган 12  n сонлари мавжуд былиб (10) бажарилади. (10) дан эса (9) келиб чи=ади, яъни (8)-система нолдан фар=ли ечимга эга.


Мисол. 2x1 +x2 - 4 x3 = 0
x1 - x2 - 5x3 = 0
3x1 +4 x2 - x3 = 0 чизи=ли тенгламалар системасини =арайлик..
Бунда
былгаглиги учун система нолдан фар=ли ечимга эга. Уни Гаусс усули билан ечамиз : x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0
3 x2 + 6x3 = 0  x2 + 2x3 = 0  x2 + 2x3 = 0 
7x2 + 14x3 = 0 x2 + 2x3 = 0


x2 = -2x3 , x1 = 5x3 + x2 = 5x3 - 2x3 = 3x3 .
Жавоби: x1 = 3x3 , x2 = -2x3 , x3 R .


МАВЗУНИ МУСТАЩКАМЛАШ УЧУН САВОЛЛАР

1. n - тартибли D детерминантни i - сатр элементлари быйича ёйиш формуласини ёзинг.


2. n - тартибли D детерминантни j - устун элементлари быйича ёйиш формуласини ёзинг.
3. Агар n - тартибли детерминантдаги бирор сатр элементларини бош=а бир сатрининг алгебраик тылдирувчиларига мос равишда кыпайтириб щосил былган кыпайтмаларни =ышсак йи\инди нимага тенг былади?
4. Агар n-тартибли детерминантдаги бирор сатр элементларини уларга мос алгебраик тылдирувчиларга кыпайтириб щосил былган кыпайтмаларни кушсак йи\инди нимага тенг былади?
5. Крамер формуласини ёзинг.
6. Агар Крамер формуласи xj = Dj / D да D = 0 былиб =олса =андай щолат юз беради?
7. xj = Dj / D Крамер формуласидаги Dj ва D лар =андай бо\ланган ?
21- МАЪРУЗА
МАВЗУ: МАТРИЦАНИНГ РАНГИНИ УНИНГ МИНОРЛАРИДАН ФОЙДАЛАНИБ ЩИСОБЛАШ


РЕЖА:
1. Матрицанинг ранги ва унинг нолдан фар=ли минорларининг тартиби
орасидаги бо\ланиш.
2. Матрицалар кыпайтмасининг детерминанти.
3. Мисоллар. (Детерминантларни щисоблаш).
АДАБИЁТЛАР [ 1, 2, 3]

1. Фараз этайлик бизга mxn -тартибли A=(ai j) матрица берилган былсин. Биз бундан аввал матрицанинг рангини элементар алмаштиришлардан фойдаланиб щисоблаш мумкин эканлигини курган эдик. Энди ушбу теоремани исботлаймиз.


1-теорема. A=(ai j) матрицанинг ранги унинг нолдан фар=ли минораларининг энг ю=ори тартиблисининг тартибига тенг.
Исботи. A матрицада нолдан фар=ли энг ю=ори k-тартибли минор М унинг ю=ори чап бурчагида жойлашган былсин:

Акс щолда A нинг сатр ва устунларининг ыринларини ызаро алмаштириб шу щолга олиб келиш мумкин. Бу билан унинг ранги ызгармайди.
A нинг s- сатри (s =1, 2, 3 , ... , m) биринчи k та сатрлар ор=али чизи=ли ифодаланади.Ушбу (k+1)- тартибли детерминант i ни =араймиз:

Бу ерда i= 1, 2, . . . , n; s = k+1, k+2, . . . , m . Барча i= 1, 2, . . . , n лар учун i = 0, чунки i k да i да иккита бир хил устун мавжуд былади. k+1 i да эса i A нинг (k+1) - тартибли минорини ифодалайди, шунинг учун щам i =0 .i ни охирги устун элементлари быйича ёйсак
a1i A1i + a2i A2i +…+ ari Ari + as i As i = 0, (1)
Бунда A =(-1)k+1+k+1 M =M=0 былгани учун (1) ни as i га нисбатан ечсак
as i =1 i a1 i + 2 i a2 i + . . . + r i ar i , (i= 1, 2, . . . , n; s = k+1, k+2, . . . , m) га эга быламиз. Бундан кыринадики A нинг s-cатри биринчи k та сатрлари ор=али чизи=ли ифодаланади. Демак, A матрицанинг ранги (сатрлар быйича ранги) k га тенг.
Натижа. Детерминантнинг нолга тенг былиши учун унинг сатрлари (устунлари) чизи=ли бо\ланган былиши зарур ва етарлидир.
Мисол . матрицанинг рангини щисобланг.
Аввало шуни таъкидлаш керакки, матрицанинг рангини минорлардан фойдаланиб щисоблашда фа=ат бир-бирининг ичига жойлашган минорларини текшириш кифоя.
Бизнинг мисолимизда М1 =1  0

Демак, r(A) = 4.


2. Матрицалар кыпайтмасининг детерминанти
2- теорема. A ва B n-тартибли квадрат матрицалар кыпайтмасининг детерминанти шу матрицалар детерминантларининг кыпайтмасига тенг.
Исботи. Агар A=E- бирлик матрица былса  E B  = 1  B  =  E   B  .
яъни бу щолда теорема ыринли.
2-теоремани исботлашдан олдин ушбу леммани исботлаймиз.
Лемма. Агар A’’ матрица A’ матрицадан бирта элементар сатр алмаштириш ёрдамида щосил =илинган былса, у щолда
A’ В  =  A’    В  (2)
дан
A’’ В  =  A’’    В  (3)
келиб чи=ади.
Исботи. Фараз этайлик A’’ матрица A’ матрицадан =уйидаги элементар алмаштиришларнинг бири ор=али щосил =илинган былсин:
a) cатрларининг ыринларини алмаштириш;
б) ихтиёрий сатрини нолдан фар=ли k cонига кыпайтириш;
c) бирор сатрини ихтиёрий сонга кыпайтириб иккинчи бир сатрига =ышиш.
Матрицаларни кыпайтириш =оидасига асосан A’’ В матрица A’ В матрицадан мос элементар алмаштириш натижасида щосил былади.
a) бажарилган былса,  A’’ = - A’ ва
A’’ В  = - A’B ; (4)
б) бажарилган былса,
A’’ = k   A’ ,  A’’ В  =k  A’ B  ; (5)
в) бажарилган былса, у щолда
A’’ =  A’ ,  A’’ В  =  A’-B  (6)
(4) , (5) ва (6) дан (2) га асосан (3) келиб чи=ади. Ща=икатан щам ,

(4) ва (2) дан  A’’ В  = - A’ B  = - A’   В  =  A’’   В  ;


(5) ва (2) дан эса  A’’ В  = k  A’ B  = k  A’   В  =  A’’   В  ;
(4) ва (2) дан  A’’ В  =  A’-B  =  A’   В  =  A’   В  .
Шу билан лемма тыла исбот былди.
Агар A матрица a), б), с) элементар алмаштиришлар ёрдамида E бирлик матрицадан щосил =илинган былса, леммага асосан  E В  =
E    В  дан  A В  =  A    В  келиб чи=ади. Бунда  A   0, яъни A- хосмас матрица.
A  = 0 былса, у щолда AB матрицанинг сатрлари щам чизи=ли бо\ланган былади, яъни  A В  = 0 ва  A В  =  A    В  тенглик бажарилади.
3. Детерминантларни щисоблаш.
1- мисол. Ушбу D =
детерминантда x =атнашган щаднинг коэффициентини щисобланг:
Детерминантни охирги устун элементлари быйича ёйсак фа=ат 1-сатр , 4- устунини ычирганда x =атнашади. Шунинг учун щам x =атнашган щаднинг коэффициенти =уйидагига тенг былади:

2 - мисол . Ушбу Вандермонд детерминантининг =ийматини щисобланг: . Бунинг учун Vn нинг щар бир устунини (-a1) кыпайтириб ызидан олдингисига =ышамиз. У щолда


3-мисол. Ушбу детерминантни учбурчак кыринишга келтириб щисобланг:

Охирги устунини (-1) га кыпайтириб барча устунларига =ышиб чи=амиз:

Энди барча сатрларини охирги сатрига =ышамиз:

4- мисол.Берилган D детерминантни чизи=ли кыпайтувчиларини ажратиш усули билан щисобланг:

D нинг ёйилмаси n-даражали кыпщад былиб у x=x1, x2 , . . . , xn да нолга айланади. Шунинг учун щам
D= c (x - x1) (x - x2) ... (x - xn) (2)
деб олсак былади. Энди номаълум коэффициент с ни ани=лаймиз. (1) нинг бошщади xn-1, демак с=1.
Шундай =илиб
D = ( x - x1 ) ( x - x2 ) ... ( x - xn ).
5-мисол . ( Рекурент формулалардан фойдаланиш).

ни щисобланг.
Dn+! ни охирги сатр элементлари быйича ёйамиз:
Бу ерд
Шунинг учун щам


Yüklə 1,93 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   24




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin