B. S. Zakirov oliy matematikadan loyiha-hisob ishlari bo’yicha topshiriqlar to’plami va ularni bajarishga doir ko’rsatmalar

(log (
)) sin
log (
) (sin
)
(sin
)
x
x
x
x
y
x
3
3
3
3
3 2
5
7
7
5
7
7
7
5
7
3
7

−


−
− 
−
=
(
)
sin
log (
) cos
(
)
(
)ln
(sin
)
x
x
x
x
x
x
x
3
2
3
3
2
3
5
7
21
5
7
7
5
7
3
7
−
− 
−
=
sin
log (
) cos
(
)ln
sin
x
x
x
x
x
x
3
2
3
3
2
3
5
7
21
5
7
5
7
7
3
5
7
7
3
−
−
− 
=
−
sin
(
)log (
) cos
ln
.
(
)sin
ln
x
x
x
x
x
x
x
d) Berilgan funksiyani logarifmlaymiz: 
(
)
5
3
=

−
ln
arccos
ln sin(
) .
y
x
x
U holda
(
)
(
)
(
)
5
3
5
3



=

−
+

−
(arccos
) ln sin(
)
arccos
ln sin(
)
,
y
x
x
x
x
y
(
)
2
5
3
5
3
3
1 25
−


−
= −
+
−
−
ln sin(
)
arccos
cos(
)
,
sin(
)
x
y
x
x
y
x
x
bu yerdan
(
)
(
)
5
2
5
3
5
3
3
3
1 25


−

−
 =
−
−


−
−


arccos
ln sin(
)
arccos
cos(
)
sin(
)
.
,
sin(
)
x
x
x
x
y
x
x
x
6-masala.
Berilgan funksiyalar uchun 

y
va 

y
larni hisoblang. 

---

7 
a) 
+ =
ln
;
x
y
a
y
b) 
2
 =


=
−

arccos
.
x
t
y
t t
Yechish.
a) 
+ =
ln
x
y
a
y
tenglikni ikkala tomonidan 
x
bo’yicha hosila olsak, 
quyidagiga ega bo’lamiz:
2
0


−
+
=
;
y
y xy
y
y
2
2

−
= −
(
)
;
y x y
y
y
y
 =
−
.
y
y
x y
Endi oxirgi tenglikdan yana 
x
bo’yicha hosila olsamiz:
2
2
1



−
−
−
−
 =
=
−
−
(
)
(
)
.
(
)
(
)
y x y
y
y
xy
y
y
x y
x y
Bu yerga 

y
ni topilgan qiymatini qo’yib, quyidagini hosil qilamiz: 
2
2
3
−
−
 =
=
−
−
.
(
)
(
)
xy
y
y
x y
y
x y
x y
b) 
2
2
1
1
2
1
2
1 2
2


 = −
=

−
−


−
 =


−

t
t
t
x
t
t t
t
y
t t
va
2
3 2
2 3 2
2
2
2
2
2
2 3 2
2 3 2
1 1
2
1
1 2
2 2
4
1 2
2
1 2
1
4
4
1 4
4
1
2
2
4
4
−
−
 = −   −
−
=

−

−

−
−
− −

− +
− +
−
−
−
 = 
=
=

−
−
−

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
t
t
x
t t
t
t t
t
t t
t
t
t
t
t
t t
y
t t
t t
t t
bo’lganligidan 
2
2
1 2
2
2
1
2

−
 =
= −

−
=
−

−
.
t
x
t
y
t
y
t t
t
x
t t

---

8 
2 3 2
2 3 2
2
2
3
2 3
2
2 3 2
2
2 3 2
2
1
1
1 2
1 2
4
4
2
2
1
8
4
4
8
4
8
−
−

−

 
 
−
−
−
−
−
 =
=
=

−
−
−
=
−
−
= −
−
−
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
.
(
)
t t
t t
x
t
t
t
t t
t t
y x
x y
t t
t t
y
x
t t
t
t
t t
t t
t t
t t
7-masala. 
Berilgan 
y
funksiya va 
0
x
argument uchun 
0

(
)
y x
ni hisoblang. 
2
0
1
1
2
4
2
16

= −
=
cos
,
.
y
x x
Yechish.
Ketma-ket topamiz: 
1
2
2
2
2
4
2
 = − 
−
 =
cos
( sin
)
sin
;
y
x
x
x
4
4
16
4


=
= −
cos
;
sin
.
y
x
y
x
2
16
16
8 2
16
4
2





= −
= − 
= −




sin
.
y
8-masala.
1
=
+
ln(
)
y
x
funksiyaning 
n
-tartibli hosilasini toping. 
Yechish.
Funksiyani ketma-ket differentsiallab, quyidagilarni topamiz: 
1
2
3
4
4
1
1
1
1 2 1
1 2 3 1
1
−
−
−
−



=
= +
= − +
=   +
= −    +
+
( )
(
) ;
(
) ;
(
) ;
(
) ;...;
y
x
y
x
y
x
y
x
x
1
1
1
1
1 2 3
1
1
1
1
−
−
−
−
−
=    
−  −
+
=
+
( )
(
)
(
)!
... (
) (
)
(
)
.
(
)
n
n
n
n
n
n
y
n
x
x
9-masala.
Funksiya differensialidan foydalanib, berilgan miqdorlarni taqribiy 
hisoblang. 
 
a)
5
36 .
b) 
0 51
arcsin ,
.
Yechish. 
a) Berilgan miqdorni 
5
5
2
4
+
ko’rinishda yozib olib, 
5
=
y
x
funksiyani kiritamiz, bu yerda 
0
0
32
4
=
+ 
=
 =
,
;
.
x x
x x
x

---

9 
0
0
0

+  
+

(
)
(
)
(
)
y x
x
y x
y x
x
formuladan 
foydalanamiz. 
Quyidagiga 
egamiz: 
4
5
5
0
5
4
1
1
1
1
32
2
32
5
5 16
80
5
−


=
=
=
=
=
=

(
)
,
,
(
)
.
y x
y
x
y
x
Shunday qilib, 
5
1
1
36
2
4
2
2 05
80
20
 +
 = +
=
,
.
b) Xuddi yuqoridagi sxema bo’yicha topamiz: 
0
0
2
2
0 5
0 51 0 5
0 01
0 5
6
1
1
2
0 5
1 1
3
1
1
0 5
0 51
1 1 0 01 0 535
6


=
=
 =
−
=
=
=
=
=
=

−
−
 +

=
arcsin ,
, ;
,
,
,
;
(
)
arcsin ,
.
,
( , )
, .
( , )
arcsin ,
,
,
,
.
y
x x
x
y x
y
y
x
10-masala.
3
2
1
=
−
x
y
x
funksiyani to’la tekshiring va grafigini chizing.
Yechish. 1.
Funksiyaning aniqlanish sohasi 
(
) (
) (
)
1
1 1
1
−
 −

+ 
;
;
;
to’plam bo’ladi.
2.
Funksiyaning uzulish nuqtalari.
3
3
3
3
2
2
2
2
1 0
1 0
1 0
1 0
1
1
1
1
→ − −
→ −
→ − +
→ +
=
= −
=
= 
−
−
−
−
lim
lim
;
lim
lim
,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
tengliklardan 
1
= 
x
funksiyaning uzilish nuqtalari ekanligi, bundan esa 
1
=
x
va 
1
= −
x
to’g’ri chiziqlar funksiya grafigining vertikal asimptotalari bo’lishi kelib 
chiqadi.
Berilgan funksiyaning qiymatlar sohasi 
− + 
(
;
)
oraliq bo’ladi. 
3.
3
2
1
=
−
x
y
x
funksiya toq funksiya bo’ladi: 
( )
( )
− = −
y x
y x
, shuning uchun 
uning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’ladi. 
Funksiya davriy emas. Funksiya grafigi koordinata o’qlarini koordinata 
boshida kesib o’tadi: 
( )
0
0
=
y
. 

---

10 
4.
Funksiyaning o’sish va kamayish oraliqlarini va ekstremum nuqtalarini 
topamiz. Buning uchun funksiyaning hosilasini hisoblaymiz: 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
2
2
4
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1
2
3
3
2
1
1
1
1

−


− −
−
−
 =
=
=
=
=


−


−
−
−
(
)
x x
x
x x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
(
)(
)
(
)
2
2
3
3
1
1
−
+
=
−
+