D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

8.3.1. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari

Ta’rif. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning o’z o’qlaridan biri atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt ikkinchi tartibli aylanish sirtlari deyiladi.

Ikkinchi tartibli aylanish sirtlaridan quyidagilarni ko’rib chiqamiz.

Sfera

Ta’rif. Aylananing o’z diametrlaridan biri atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt sfera deb ataladi.

8.11–rasmda tasvirlangan sfera ustidagi A nuqtaning A″ frontal va B nuqtaning B′ gorizontal proeksiyalari berilgan. A nuqtaning A₁′ va A₂′ gorizontal proeksiyalarini yasash uchun u orqali O_A″1″ radiusli parallel o’tkaziladi. A nuqtaning gorizontal proeksiyalari shu parallelning gorizontal proeksiyasida yotadi. A nuqta sferaning oldingi yoki orka yarmida joylashgan bo’lishi mumkin. Shuning uchun uning gorizontal proeksiyalari A₁′ va A₂′ nuqtalar parallelning gorizontal proeksiyasida topiladi. B nuqta sfera ekvatorida yotganligi uchun uning B″ frontal proeksiyasi bir qiymatli bo’lib, u ekvatorning frontal proeksiyasida topiladi.

Markazi koordinatalar boshida bo’lgan sferaning kanonik tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
x² + u² + z²=R², R ≠ 0
Markazi ixtiyoriy A (x₁, y₁, z₁) nuqtada bo’lgan sfera tenglamasi
(x – x₁)² + (y – y₁) ² + (z – z₁)²=R² bo’ladi.

Ta’rif. Ellipsning o’z o’qlaridan biri atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt aylanma ellipsoid deyiladi.

Aylanma ellipsoid sirt

Bunda m(m′, m″) – ellips va i(i′, i″) aylanish o’qi y ellips o’qi bilan ustma-ust tushadi va sirt Φ(i, m) ko’rinishda yoziladi.

8.10-rasm
Ellipsning kichik o’qi atrofida aylanishidan siqiq aylanma ellipsoid (8.12-rasm), kata 8.11-rasm o’qi atrofida aylanishidan cho’ziq aylanma ellipsoid hosil bo’ladi (8.13-rasm). 8.12- va 8.13-rasmlarda ellipsoidlar ustida berilgan A va B nuqtalarning bitta proeksiyasi bo’yicha ularning etishmaydigan proeksiyalarini yasash ko’rsatilgan. Nuqtalarning etishmaydigan proeksiyalari parallel, meridian va proeksion bog’lanish chiziqlari yordamida aniqlangan.

8.12-rasm. 8.13-rasm.

Markazi koordinatalar boshida bo’lgan va katta o’qi aylanish o’qi bo’lgan ellipsning aylanishidan hosil bo’lgan aylanish ellipsoidining kanonik tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi: . Bunda c ≠ A bo’ladi.

Er sharining shakli siqilgan ellipsoid – geoidni eslatadi.

Ta’rif. Parabolaning o’z o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt aylanma paraboloid deyiladi.

Aylanma paraboloid sirt

8.14–rasmda m(m′, m″) parabolani i(i′, i″) o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan Φ(i′, m) aylanma paraboloidning proeksiyalari berilgan va uning ustida nuqta tanlash ko’rsatilgan.
Uchi koordinatalar boshida bo’lgan va o’qi Oz bo’lgan aylanma paraboloidning kanonik tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
x² + y²=- 2pz, bunda p ≠ 0.
Aylanma paraboloid parabolik oynalar sirti hisoblanib, projektorlar, parabolik antennalar va avtomobil faralari uchun ishlatiladi. Bunda parabolaning fokal xossasiga asosan parabola fokusida o’rnatilgan nur manbaidan chiquvchi nurlar parabola sirtida sinib, o’zaro parallel bo’lib qaytadi (8.14,b-rasm). Parabolaning ushbu xossasiga nur yig’ish sirtlari, tovush ushlagichlar, radiolokatorlarni konstruktsiyalash ham asoslangan.

a) b)
8.14-rasm

Ta’rif. Giperbolaning o’z mavhum yoki haqiqiy o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt aylanma giperboloid deyiladi.

Aylanma giperboloid sirt

Giperbolaning mavhum o’q atrofida aylanishidan bir pallali aylanma giperboloid hosil bo’ladi. 8.15–rasmda i(i′, i″) o’qi atrofida m(m′, m″) giperbolaning aylanishidan hosil bo’lgan bir pallali Φ(i, m) giperboloid va uning ustida nuqta tanlash ko’rsatilgan.
Markazi koordinatalar boshida bo’lgan bir pallali aylanma giperboloidning kanonik tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: . Bunda c ≠ A bo’ladi.
Giperbolaning o’z haqiqiy o’qi atrofida aylanishidan ikki pallali aylanma giperboloid hosil bo’ladi. Bu sirt qabariq tubi bilan bir-biriga qaratilgan qozonlarni eslatadi. Bunday sirt 8.16-rasmda tasvirlangan. Φ(i, m) ikki pallali giperboloid ustida A nuqtaning proeksiyalari ko’rsatilgan. Ikki pallali aylanma giperboloidning tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
. Bunda c ≠ A bo’ladi.

8.15-rasm 8.16-rasm

8.3.2. To’g’ri chiziqning aylanishidan hosil bo’lgan
ikkinchi tartibli aylanish sirtlari

To’g’ri chiziqni biror to’g’ri chiziq atrofida aylanishidan ham 2-tartibli aylanish sirti hosil bo’lishi mumkin.
1. Aylanish o’qi i(i′, i″) atrofida u bilan ayqash a(a′, a″) to’g’ri chiziqning aylanishi natijasida bir pallali aylanma giperboloid sirti Φ(i, a) hosil bo’ladi (8.17-rasm).

8.17-rasm 8.18-rasm 8.19-rasm

2. Yasovchi A to’g’ri chiziq aylanish o’qi i bilan kesishsa, ikkinchi tartibli aylanma konus sirti Φ(i, a) xosil bo’ladi (8.18-rasm).

Uchi koordinata boshida bo’lgan aylanma konus sirtining kanonik tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
.
3. a(a′, a″) yasovchi to’g’ri chiziq ℓ(ℓ′, ℓ″) o’qqa parallel bo’lsa, ikkinchi tartibli aylanma silindr sirti Φ(i, a) hosil bo’ladi (8.19-rasm).
Bu silindrning tenglamasi x² + y²=R² bo’ladi. R miqdor A va i to’g’ri chiziqlar orasidagi masofadir.
Bir pallali giperboloid, konus, silindr sirtlari ham aylanish, ham chiziqli sirtlar turiga kiradi.