D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

8.1-jadval
Ikkinchi tartibli umumiy sirtlarning grafik tarzida berilishi va ularni aniqlovchi geometrik parametrlar

№	Nomi	Monj chizmasidagi tasviri	Analitik berilishi
	Uch o’qli ellipsoid		a>c>b c>a>b a>b>c b>a>c c>b>a b>c>a
	Elliptik paraboloid		p>q yoki p
	Giperbolik paraboloid		p>q yoki p
	Ikki pallali giperboloid		0 < c < 

8.1-jadval (davomi)

№	Nomi		Monj chizmasidagi tasviri		Analitik berilishi
	Bir pallali giperboloid
	Elliptik konus				a > b
	Giperbolik konus			a > b 0 < c < 

8.1-jadval (davomi)

№		Nomi		Monj chizmasidagi tasviri		Analitik berilishi
		Parabolik konus				p  0
		Elliptik silindr				z = h
	Parabolik silindr				z = h p  0

8.1-jadval (davomi)

Giperbolik silindr

z = h

8.5–§. Chiziqli sirtlar

Ta’rif. To’g’ri chiziqning fazoda berilgan uchta (m, n va ℓ) yo’naltiruvchi chiziqlarni kesib o’tib, uzluksiz harakatlanishidan hosil bo’lgan sirt chiziqli sirt deyiladi.

Bu sirtni uch yo’naltiruvchi chiziqli sirt deb yuritiladi. Bu chiziqli sirt aniqlovchi parametrlar orqali Φ(m, n, ℓ) ko’rinishda yoziladi.

8.21,a-rasmda umumiy holdagi chiziqli sirtni hosil qilish ko’rsatilgan. Chiziqli sirtning bunday umumiy holi qiyshiq silindr deyiladi. 8.21,b–rasmda qiyshiq silindrning yaqqol tasviri ko’rsatilgan.
Bu sirtning hosil bo’lish jarayoni quyidagichadir. m, n va ℓ egri chiziqli yo’naltiruvchilar berilgan bo’ladi m chiziqda ixtiyoriy A nuqta tanlaymiz (8.21,a-rasm). ℓ chiziqni yo’naltiruvchi qilib, (A, ℓ) konus sirti hosil kilamiz. Bu konus n chiziq bilan biror B nuqtada kesishadi. A,B,C nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziq uch yo’naltiruvchi sirt (qiyshiq silindr) ning yasovchilaridan biri bo’ladi. Shuningdek, m ga tegishli bo’lgan barcha nuqtalarni konuslarning uchi deb qabul qilib, ℓ chiziq shu konuslarning yo’naltiruvchisi bo’lganda,bu konuslar n chiziq bilan kesishib, uning ustida konusga tegishli nuqtalar hosil qiladi. Bu nuqtalardan o’tuvchi chiziqlar qiyshiq silindr sirtining to’g’ri chiziqli yasovchilari to’plamini hosil qiladi.
Xususiy xollarda yo’naltiruvchi m, n va ℓ egri chiziqlarning ba’zilari yoki hammasi to’g’ri chiziq bo’lishi mumkin. Bu to’g’ri chiziqlardan birontasi cheksiz uzoqlikda (xosmas) bo’lishi yoki ba’zilari nuqta ko’rinishida bo’lishi ham mumkin.
Cheksiz uzoqlikda bo’lgan to’g’ri chiziqli yo’naltiruvchining vaziyati biror tekislik bilan beriladi va sirtning barcha yasovchilari unga parallel bo’ladi. Bu tekislik parallellizm tekisligi deyiladi.
Cheksiz uzoqlashtirilgan nuqtaning vaziyati biror to’g’ri chiziq bilan beriladi va sirtning barcha yasovchilari uning yo’nalishiga parallel bo’ladi.

a) b)
8.21-rasm



a) b)
8.22-rasm

a) b)
8.23-rasm

Agar fazoda ixtiyoriy biror S nuqta tanlab u orqali Φ₂ qiyshiq silindr sirtining yasovchilariga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazilsa,biror Φ₁ konus sirti xosil bo’ladi. Bu konus sirt yo’naltiruvchi konus deb yuritiladi. Demak, qiyshiq silindr sirtini ikki egri chiziqdan iborat yo’naltiruvchilar (m, n) va yo’naltiruvchi konus Φ₁ bilan ham berish mumkin. Bunday holda sirtni yasash algoritmi quyidagicha bo’ladi. m va n egri chiziqli yo’naltiruvchilar hamda S uchli Φ₁ yo’naltiruvchi konus berilgan bo’lsin (8.23-rasm). m chiziq ustidagi ixtiyoriy A nuqtani biror Φ₂ konusning uchi deb olib, Φ₂∥Φ₁ konus yasaladi. So’ngra Φ₂∩n=B nuqta aniqlanadi. A va B nuqtalar to’g’ri chiziq orqali tutashtirilib, qiyshiq silindrning to’g’ri chiziqli yasovchisi hosil qilinadi. A nuqtani m egri chiziq bo’yicha harakatlantirib, n chiziq ustida B nuqta singari qator nuqtalar xosil qilish mumkin. Qiyshiq silindrning bu usul bilan hosil bo’lishini geometrik tomondan quyidagicha analiz qilish mumkin. Sirtning m va n egri chiziqli yo’naltiruvchilari xos chiziqlar bo’lib, ℓ yo’naltiruvchi egri chiziq cheksiz uzoqlashtirilgan bo’ladi. Cheksiz uzoqlashtirilgan ℓ yo’naltiruvchining vaziyati yo’naltiruvchi konus orqali beriladi, ya’ni sirtning har bir to’g’ri chiziqli yasovchisi m va n chiziqlarni kesib, yo’naltiruvchi konusning mos yasovchisi bilan cheksiz uzoqlikda kesishadi.

Chiziqli sirtlar yoyiladigan va yoyilmaydigan sirtlarga bo’linadi.

Ta’rif. Cheksiz yaqin turgan ikki qo’shni yasovchilar (to’g’ri chiziq) o’zaro parallel yoki kesishuvchi bo’lib, tekis element hosil kilsa,bunday chiziqli sirtlar yoyiladigan sirtlar deyiladi

Yoyiladigan sirtlarga konus, silindr sirtlarni misol bo’la oladi.

Agar cheksiz yaqin turgan ikki qo’shni yasovchi (to’g’ri chiziq) o’zaro uchrashmas vaziyatda bo’lsa,bunday chiziqli sirtlar yoyilmaydigan sirtlar deyiladi.

8.6–§. Yoyilmaydigan chiziqli sirtlar

Yoyilmaydigan chiziqli sirtlarga quyidagilar kiradi:
8.6.1 Qiyshiq silindr. Qiyshiq silindr (8.23,a,b-rasm) uchala yo’naltiruvchisi ham egri chiziq ko’rinishida bo’lganda hosil bo’ladi. Uning aniqlovchilari m, n, A egri chiziqlardan iborat bo’lib Φ(m, n, a) ko’rinishida yoziladi. Bu sirtlarning tasviri 8.21-rasmda berilgan.
8.6.2. Ikki marta qiyshiq silindroid. Ikki marta qiyshiq silindroid (8.24,a,b-rasm) yo’naltiruvchilarning ikkitasi m, n egri chiziq va uchinchisi A to’g’ri chiziq bo’lgan hollarda hosil bo’ladi. 8.24,b–rasmda bunday sirtning yaqqol tasviri berilgan. Bu sirt aniqlovchilar bilan Φ(m, n, a) ko’rinishida yoziladi.

8.24-rasm 8.25-rasm

8.6.3. Ikki marta qiyshiq konoid. Ikki marta qiyshiq konoid (8.23,a,b-rasm) yo’naltiruvchilarning ikkitasi a, n to’g’ri chiziq bo’lib, uchinchisi m egri chiziq bo’lgan holda hosil bo’ladi.8.23- rasmda ikki marta qiyshiq konoidning fazoviy tasviri ko’rsatilgan. Bu sirt aniqlovchilar bilan Φ(m, a,b) ko’rinishida yoziladi.

8.6.4. Bir pallali giperboloid. Bir pallali giperboloid (8.25-rasm). Bu sirt yo’naltiruvchilarining uchalasi ham bir tekislikda yotmaydigan a,b, c to’g’ri chiziqlarda iborat bo’lgan holda xosil bo’ladi.
Bir pallali giperboloid sirtida ikki to’g’ri chiziqlar oilasi mavjud bo’lib, ularning har biriga mansub biror to’g’ri chiziq ikkinchi oiladagi hamma to’g’ri chiziqlarini kesib o’tadi.

Teorema. Bir pallali giperboloidning har bir nuqtasidan uning ikkita to’g’ri chiziqli yasovchisi o’tadi.

Sirtning yo’naltiruvchilari sifatida bitta oilaga mansub bo’lgan xohlagan uchta to’g’ri chiziqni qabul qilish mumkin. Sirt aniqlovchilari bilan Φ(a,b, c) ko’rinishida yoziladi. 8.26–rasmda bir pallali giperboloid o’zining ikki oilaga mansub bo’lgan to’g’ri chiziqli yasovchilari bilan tekis chizmasida tasvirlangan. Bu sirt yasovchilarining xossalaridan qurilish texnikasida foydalanishni birinchi marta akademik V.G.Shuxov (1853-1939) tavsiya qilgan. Bir pallali aylanma giperboloiddan radio-machta, suv minorasi kabi inshootlarni konstruktsiyalashda foydalanilgan. Bu konstruktsiyalar o’zining mustahkamligi va engilligi tufayli qurilish texnikasida keng tarqalgan. 1921 yili Moskvada Shuxov loyihasi asosida 160 metrli 6 sektsiyali (6 ta giperboloid) radio-minora qurildi (8.27-rasm). Hozirgi kunlarda ham bu sirtdan qurilish amaliyotida keng foydalaniladi.

8.26-rasm 8.27-rasm

8.6.5. Silindroid. Ikki yo’naltiruvchi m, n xos egri chiziq bo’lib, uchinchisi A cheksiz uzoqlashtirilgan, ya’ni xosmas a_∞ to’g’ri chiziq bo’lsa, hosil bo’lgan chiziqli sirt silindroid deyiladi. Silindroid ikki marta qiyshiq silindroidning xususiy holidir. Sirtning hamma to’g’ri chiziqli yasovchilari xosmas to’g’ri chiziqli yasovchining vaziyatini aniqlaydigan parallelizm tekisligiga parallel bo’ladi. silindroidni aniqlovchilari bilan Φ(m, n, a_∞) yoki Φ(m, n, P) ko’rinishda yozish mumkin.

8.28-rasmda m va n yo’naltiruvchilari egri chiziqlar va gorizontal proeksiyalovchi parallelizm tekisligi M(M_N) bilan berilgan tsilinroid sirti chizmasida tasvirlangan. Silindroid sirti ustidagi ixtiyoriy A(A′, A″) nuqtaning A′ proeksiyasiga asosan uning iuuinchi A″ proeksiyasi vaziyatini aniqlash uchun shu nuqta orqali sirtning parallelizm tekisligiga parallel bo’lgan yasovchisi o’tkaziladi. So’ngra yasovchining ikkinchi proeksiyasi va uning ustida berilgan A nuqtaning A″ proeksiyasi yasaladi.
Silindroid sirtlari mashinasozlikda va qurilish amaliyotida keng qo’llaniladi. Truboprovodlarning o’tish qismlarini ulash konstruktsiyalarida (8.29-rasm), plug agdarchilari sirtlarini hosil qilishda,ba’zi bir gumbaz va arkalarni loyihalashda (8.30-rasm) silindroidlardan foydalanish mumkin.
8.29-rasmda bir xil diametrli va o’qlari Φ burchak hosil kiluvchi Φ₁ va Φ₂ aylanma silindrlarning Φ silindroid sirti orqali birlashtirilishi chizmada tasvirlangan. Bunda H_IV va N_V tekisliklarda yotuvchi m va n aylanalar-silindroid sirtining yo’naltiruvchilari, V tekislik uning parallelizm tekisligidir. Bu silindroid sirtining chizmasini yasash qulay bo’lishi uchun m va n yo’naltiruvchilarni teng 12 bo’lakka bo’lish yo’li bilan sirtning yasovchilari o’tkazilgan.

8.28-rasm 8.29-rasm

8.6.6. Konoid. Konoid ikki marta qiyshiq konoidning xususiy holi bo’lib, u to’g’ri chiziqli yo’naltiruvchilarning birini cheksiz uzoqlashtirganda hosil bo’ladi. Konoidning to’g’ri va egri chiziqli xos yo’naltiruvchilarini kesib o’tuvchi yasovchilari parallelizm tekisligiga parallel bo’ladi, ya’ni parallelizm tekisligini xosmas chizig’ini ham kesib o’tadi. 8.31–rasmda a to’g’ri chiziq va m egri chiziqli yo’naltiruvchilar hamda M(M_H) parallelizm tekisligi bilan berilgan konoid chizmada tasvirlangan.

8.31-rasm 8.32-rasm

Konoid sirti aniqlovchilari bilan Φ(m, a, b_∞) yoki Φ(m, a, M) ko’rinishida yoziladi. A to’g’ri chiziq ixtiyoriy vaziyatda berilishi, m egri chiziq tekis yoki fazoviy qilib olinishi mumkin. Ular bir tekislikda yotmasligi shart, aks holda sirt tekislikka aylanadi.

Agar yo’naltiruvchi A to’g’ri chiziq proeksiyalar tekisliklarining birortasiga perpendikulyar bo’lsa, hosil bo’lgan sirtni to’g’ri konoid deb va perpendikulyar bo’lmasa, og’ma konoid deb yuritiladi.
8.32-rasmda n parabola va b to’g’ri chiziqli yo’naltiruvchilari bilan berilgan konoidning yaqqol tasviri berilgan. Bu sirt uchun V tekisligi parallelizm tekisligi vazifasini o’taydi. Konoidning bunday xususiy hollari ba’zi bino va inshootlar yopmalarida ishlatiladi.
8.33-rasmdagi chizmada tasvirlangan konoid YuNESKOning binosiga kirishdagi ayvonchaning sxematik ko’rinishidir. Bunda konoid sirtini hosil qiluvchi aniqlovchilar b to’g’ri chiziq va n egri chiziq bo’lib, uning tekisligi W ga perpendikulyardir.
8.6.7. Giperbolik paraboloid. Qiyshiq tekislik sirti - giperbolik paraboloid. Giperbolik paraboloid sirti bir pallali giperboloid sirtining xususiy holi bo’lib, bunda to’g’ri chiziqli yo’naltiruvchilarning bittasi cheksiz uzoqlashtirilganda (xosmas to’g’ri chiziq) hosil bo’ladi. Giperbolik paraboloid sirti aniqlovchilar bilan Φ(a, b, c_∞) yoki Φ(a, b, M) ko’rinishida yoziladi. Bu sirt 8.34-rasmda tasvirlangan. Giperbolik paraboloid sirtini biror parabolaning ikkinchi parabola bo’yicha harakatlanishidan ham hosil qilish mumkin.
8.35-rasmda tasvirlangan giperbolik paraboloid sirti n parabolaning yOz tekisligiga parallel bo’lib, uchi doim n₁ parabola bo’yicha harakatlanishidan hosil bo’lgan yoki bu sirtni xOy tekisligiga parallel tekisliklardagi m giperbolalarning karkasidan hosil bo’lgan deyish ham mumkin. SHunga ko’ra bu sirtni giperbolik paraboloid yoki parabolik giperboloid deb yuritiladi.
Bu sirtning kanonik tenglamasi
, bunda p ≠ q. (1)
Tenglamadan ko’rinishicha,bu sirt ikkinchi tartiblidir.
Darhaqiqat, (1) sirtning xOz (y=0) va yOz (x=0) tekisliklar bilan kesishganda xosil bo’lgan bosh kesimlari quyidagi parabolalar bo’ladi.
x²=2pz (2)
u²=- 2qz (3)
Sirtni xOy(z=0) tekislik bilan kesganda
(4)
tenglama xosil bo’ladi. Bu esa quyidagi ikki to’g’ri chiziqni ifodalaydi:
va .
Sirtni xOy tekisliklariga parallel, ya’ni z=h tekisliklar bilan kesganda, kesimda


(5)
giperbola hosil bo’ladi.

8.34-rasm 8.35-rasm

Giperbolik paraboloid sirtidan qurilish amaliyotida, arxitektura binolari va inshootlarining yopmalari sifatida keng foydalaniladi.

Parallelizm tekisligiga ega bo’lgan sirtlarni Belgiyalik geometr olim nomi bilan Katalan sirtlari deb yuritildi.