D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

8.3.3. Tor sirti

Ta’rif. Biror aylananing shu aylana tekisligida yotuvchi, ammo aylana markazidan o’tmaydigan, ixtiyoriy i o’q atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt tor sirti deyiladi.

Yasovchi m aylana radiusi r va aylana markazidan i o’qqacha bo’lgan R masofalarning o’zaro nisbatiga ko’ra tor sirtlari turlicha bo’ladi:

• 
  r<R bo’lganda yasovchi m(m′, m″) aylana aylanish o’qi i(i′, i″) ni kesmaydi va hosil bo’lgan tor ochiq tor yoki halqa deyiladi (8.20,a-rasm).
  
• 
  r=R bo’lganda yasovchi m(m′, m″) aylana aylanish o’qi i(i′, i″) ga urinadi. Bunday tor yopiq tor deb ataladi (8.20,b-rasm).
  
• 
  r>R bo’lganda yasovchi m(m′, m″) aylana aylanish o’qi i(i′, i″) ni kesadi. Bu holda xosil bo’lgan tor ham yopiq tor deyiladi (8.20,v-rasm).
  

Tor sirtning aniqlovchilari i aylanish o’qi va m yasovchi aylana bo’ladi va Φ(i,a) tarzida yoziladi.

a) b) v)
8.20-rasm

Ixtiyoriy tekislik torni 4-tartibli egri chiziq bo’yicha kesadi, shuning uchun tor 4-tartibli sirtdir.

Markazi koordinatalar boshida va r=R bo’lgan tor sirtining tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(z² + x² + y²)²-4R²(x² + y²)=0.

8.4–§. Ikkinchi tartibli umumiy sirtlar

Ikkinchi tartibli umumiy sirtlarning kanonik tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi.
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + K=0.
Agar bu tenglamaning har ikkala tomonini o’nta koeffitsientlardan birortasiga, masalan, K koeffitsientiga bo’linsa, ... kabi 9 ta nisbat hosil bo’ladi. Bularning har biri ikkinchi tartibli sirtning parametrlari bo’la oladi. Demak, ikkinchi tartibli sirt 9 ta nuqta orqali berilishi mumkin.
Ikkinchi tartibli umumiy sirtlarning grafik tarzida berilishi va ularni aniqlovchi geometrik parametrlar 8.1-jadvalda keltirilgan. Ikkinchi tartibli umumiy sirtlardan uch o’qli ellipsoid, bir pallali va ikki pallali giperboloidlar markaziy sirtlarga kiradi. Qolgan barcha sirtlar markazsizdirlar. Markaziy sirtlar uchta simmetriya tekisligiga ega. Ularning simmetriya tekisliklari y=0 (xOz), x=0 (yOz) va z=0 (xOy) koordinata tekisliklari bo’ladi. Markaziy sirtlarning bu tekisliklar bilan kesishuvidan hosil bo’lgan kesim ularning bosh kesimlari deb yuritiladi. Simmetriya tekisligiga parallel bo’lgan tekisliklardagi kesimlarni sirtlar tenglamasidan foydalanib va kesimlarning o’xshashligiga asosan osongina yasash mumkin.
Ikkinchi tartibli umumiy sirtlarni o’qiga perpendikulyar tekisliklar bilan kesganda kesimda ikkinchi tartibli egri chiziqlar (ko’pgina xollarda ellipslar) hosil bo’ladi (8.1-jadval).
Ikkinchi tartibli umumiy sirtlarning tenglamalarda a=b bo’lsa, ikkinchi tartibli aylanish sirtlari hosil qilinadi. Jadvalda keltirilgan 1,2,4,5,6,9 sirtlarning doiraviy kesimlari mavjuddir.
Ikkinchi tartibli umumiy sirtlar muhandislik amaliyotida keng qo’llaniladi. SHuning uchun bu sirtlarning chizma geometriyada grafik jihatdan qulay tasvirlanishi o’rganiladi.
Ikkinchi tartibli umumiy sirtlarning kesimlari va geometrik xossalari boshqa murakkab sirtlarga nisbatan ko’proq o’rganilgan. Chunki bu sirtlarning hosil bo’lishi ma’lum matematik qonunga asoslangandir. Shuning uchun ikkinchi tartibli umumiy sirtlar yoki ularning ayrim bo’laklari mashinasozlikda, samolyotsozlikda, qurilish amaliyotida, meditsina asboblari yasashda va boshqa sohalarda keng foydalaniladi.