D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

13.6-§. Aylananing aksonometriyasi

Aylana tekisligining aksonometriya tekisligiga nisbatan vaziyatiga qarab aylana aksonometriyasi ellips, aylana yoki to’g’ri chiziq kesmasidan iborat bo’lishi mumkin. Umumiy hollarda aylananing aksonometriyasi ellips bo’ladi.

Ta’rif. Aylananing har qanday o’zaro perpendikulyar diametrlarining aksonometriyasi - ellipsning qo’shma diametrlaridan iborat bo’ladi.

Aksonometriya o’qlariga parallel bo’lgan qo’shma diametrining uzunligi aylana diametrininig mos o’qlar bo’yicha o’zgarish koeffitsientiga ko’paytirilganiga teng.

Qiyshiq burchakli aksonometriyada ellips kichik o’qining uzunligi 0 (nol) dan aylana diametri d gacha, katta o’qining uzunligi d dan ∞ gacha o’zgarishi mumkin.
To’g’ri burchakli aksonometriyalarda ellips katta o’qining uzunligi d ga, kichik o’qining uzunligi dcosφ₁ ga, teng. Bu erda φ₁ aylana tekisligi bilan aksonometrik proeksiyalar tekisligi orasidagi burchak.
Aylananing to’g’pi byrchakli akconometriyaci. Chizmachilikda aylananing to’g’ri burchakli aksonometriyasi bo’lgan ellipsni chizish ko’p hollarda uchraydi.
Aylana tekisligi Q aksonometrik proeksiyalar tekisligi R bilan o’zaro o’tkir burchak φ° hosil qilib kesishganda aylananing aksonometriyasi ellips bo’ladi (13.5-rasm). Bu ellipsning katga o’qi A_rB_r aylananing AB diametriga, kichik o’qi C_pD_p esa aylana diametrini φ burchak kosinusiga ko’paytirilganiga teng bo’ladi.
A_rB_r=AB, C_pD_p=CD cos φ.
Parallel proeksiyalarning xossalariga ko’ra elipsning A_rB_r katta o’qi Q va R tekisliklarning o’zaro kesishish chizig’i A ga parallel, C_pD_p kichik o’qi esa bu to’g’ri chiziqqa perpendikular bo’ladi,ya’ni:
A_RB_R|| a, C_pD_p┴a.
Shunday qilib, aylananing aksonometrik proeksiyasini yasash uchun aylana markazining proeksiyasi E_r nuqta yasalib va bu nuqtadan ellipsning katta va kichik o’qlari o’tkaziladi. Ellipsni uning katta va kichik o’qlari bo’yicha yasash qiyin emas.

13.5-rasm.

Ko’pincha, H, V, W yoki ularga parallel tekisliklarda yotuvchi aylanalarning aksonometrik proeksiyalarini yasashga to’g’ri keladi. Bunday aylanalar aksonometriyalarini yasashni batafsil ko’rib chiqamiz.

Ma’lumki, to’g’ri burchakli aksonometriyada R aksonometrik proeksiyalar tekisligi H, V, W tekisliklar bilan kesishadi. R tekislikning bu tekisliklar bilan kesishish chiziqlari izlar uchburchagining tomonlaridan iborat bo’ladi. Demak, N tekislikka tegishli aylanani R tekislikka proeksiyalashdan hosil bo’ladigan I ellipsning katta o’qi izlar uchburchagining AB tomoniga, V tekislikka tegishli aylana proeksiyasi - II ellipsning katta o’qi AC tomoniga, W tekislikka tegishli aylana proeksiyasi - III ellipsning katta o’qi BC tomoniga parallel bo’ladi (13.6-rasm). To’g’ri burchakli aksonometriyada aksonometriya o’qlari izlar uchburchagining balandligidan iborat bo’ladi. Shunga ko’ra, I ellips uchun A_pB_p⊥O_pC, (Oz) II ellips uchun A_pB_p⊥O_pB (Oy), III ellips uchun A_pB_p⊥O_pA (Ox) bo’ladi. Ellipslarning C_pD_p kichik o’qlari A_pB_p katta o’qlariga doim perpendikulyar bo’ladi.



13.6-rasm. 13.7-rasm.

To’g’ri burchakli aksonometriyada ellipsning katta o’qi doim tegishli aylanalarning diametrlariga teng bo’ladi. Kichik o’qlari aksonometriyaning turiga qarab o’zgaradi. Kichik o’qining uzunliklarini hisoblash mumkin. Buning uchun 13.7-rasmga murojaat qilamiz. Oz o’qidan o’tuvchi va izlar uchburchagining AB tomoniga perpendikulyar qilib o’tkazilgan tekislik P tekislikni CB_p to’g’ri chiziq bo’yicha, xOy tekislikni esa eng katta og’ma chizig’i O₁B_p bo’yicha kesib o’tadi. Natijada SO₁B_p to’g’ri burchakli uchburchakni hosil qilinadi. Bu uchburchaknining SO₁B_p jipslashgan vaziyati rasmda ko’rsatilgan. Buning uchun diametri CB_p kesma bo’lgan yarim aylana chiziladi va O_r nuqtadan Oz o’qqa perpendikulyar chiqarib, uning yarim aylana bilan kesishish nuqtasi O₁ ni belgilab olinadi. O₁ nuqtani C va B_r nuqtalar bilan tutashtirib γ va φ burchaklar aniqlanadi. Bu burchaklar mos ravishda R tekislik bilan Oz o’qi va xOy tekislik orasidagi burchaklar bo’ladi. Bundan Oz o’qi bo’yicha o’zgarish koeffitsienti k_z=cos γ ekanligini ma’lum. xOy tekislikning eng katta qiyalik chizig’i O₁B_p ning yo’nalishi bo’yicha o’zgarish koeffitsienti k_xoy=cos φ bo’ladi. To’g’ri burchakli SO₁B_p uchburchakdan cos²φ = 1-cos²γ bo’lgani uchun

k_xOy bo’ladi.
Xuddi shuningdek, xOz va yOz tekisliklarining eng katta qiyalik chiziqlari yo’nalishlari bo’yicha o’zgarish koeffitsientlarining qiymatlarini keltirib chiqarish mumkin:
, .
Yuqorida ellipsning kichik o’qi C_pD_p = CD cos φ ekanligini ko’rib chiqqan edik. Bunda CD – proeksiyalanayotgan aylananing diametri, φ esa aylana tekisligi bilan R tekislik orasidagi burchakdir. Shunga ko’ra:
xOy tekislikka tegishli aylanani proeksiyasi bo’lgan ellips uchun

• 
  xOz tekislikka tegishli aylananing proeksiyasi uchun
  

• 
  yOz tekislikka tegishli aylanani proeksiyasi uchun
  

bo’ladi.