D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

13.4-§. O’zgarish koeffitsientlari va proeksiyalash
burchagi orasidagi o’zaro bog’lanish

Aksonometriyaning asosiy teoremasiga asosan aksonometrik proeksiyalar o’qlari va ular bo’yicha o’zgarish koeffitsientlarini ixtiyoriy olish mumkin.Ammo ular bir-biri bilan o’zaro uzviy bog’liq bo’ladi.
Ox, Oy va Oz koordinatalar o’klarini R aksonometrik proeksiyalar tekisligiga φ burchak ostida proeksiyalaymiz (13.3-rasm). Bunda koordinatalar boshi O nuqtaning R tekislikdagi proeksiyasi O_r bo’ladi. Bunday qiyshiq burchakli aksonometrik proeksiyalashning proeksiyalanish burchagi φ ni chizmada hosil qilish uchun O nuqtadan R tekislikka OO₀ perpendikulyarni tushiramiz. OO_p va O_rO_o to’g’ri chiziqlar orasidagi φ burchak proeksiyalash burchagi bo’ladi.

1-teorema. Qiyshiq burchakli aksonometrik proeksiyada o’qlar bo’yicha o’zgarish koeffitsientlari kvadratlarining yig’indisi 2 soni bilan proeksiyalash burchagi kotangensi kvadratining yig’indisiga teng.

(1)
Ushbu teoremani isboti SH.Murodov va boshqalarning ″CHizma geometriya kursi″, 1988 yil chop etilgan kitobida keltirilgan.

2-teorema. To’g’ri burchakli aksonometrik proeksiyalashda o’qlar bo’yicha o’zgarish koeffitsientlari kvadratlarining yig’indisi 2 ga teng.

. (2)
Isboti. 13.4-rasmda P aksonometrik proeksiyalar tekisligi va Oxyz – Dekart koordinatalar sistemasi keltirilgan.
O koordinatalar boshini P tekislikdagi ortogoal proeksiyasi O_P nutqani A,B,C nuqtalar bilan tutashtirilsa, O_PA, O_PB, O_PC aksonometriya o’qlari hosil bo’ladi. Bu o’qlarni Ox, Oy va Oz hosil qilgan burchaklarini mos ravishda α, β va γ bilan belgilaymiz. Bunda OO_PA, OO_PB, OO_PC lar to’g’ri burchakli uchburchaklar bo’lganligi uchun
O_PA:OA=cos α, O_PB:OB=cos β va O_PC:OC=cos γ bo’ladi. (3)
Agar OO_P proeksiyalash yo’nalishi bilan Ox, Oy va Oz o’qlar orasidagi burchaklar α₁, β₁ va γ₁ yo’naltiruvchi burchaklar deyiladi.
Analitik geometriyadan ma’lumki, aylantiruvchi burchaklar kosinuslari kvadratlarining yig’indisi 1 ga teng, ya’ni
cos² α₁ + cos² β₁ + cos² γ₁ = 1 (4)
CHizmadan ko’rinib turibdiki, α₁ = 90 – α_, β₁ = 90 – β va γ₁ = 90 – γ bo’lgani uchun ularni (4) ifodaga qo’yib soddalashtirilsa,
sin² α + sin² β + sin² γ = 1 bo’ladi. (5)
sin² α = 1- cos² β ekanligini e’tiborga olgan holda (3) ifodani quyidagicha yozish mumkin:
cos² α + cos² β + cos² γ = 2 (6)
K_x=O_PA:OA = cos α; K_y=O_PB:OB = cos β va K_z=O_PC:OC = cos γ bo’lgani uchun (2) ifodaning to’g’riligi isbotlandi.

To’g’ri burchakli aksonometrik proeksiyalarda keltirilgan
o’zgarish koeffitsientlari

Aksonometrik masshtablardan foydalanmasdan aksonometrik proeksiyalar yasash juda ko’p vaqtni oladi. Chunki dekart koordinatalar o’qlariga parallel bo’lgan har bir kesma aksonometriyalarning uzunliklarini hisoblab topishga to’g’ri keladi. SHuning uchun keltirilgan o’zgarish koeffitsientlaridan foydalaniladi. Masalan, ixtiyoriy to’g’ri burchakli trimetrik proeksiyalar quyidagi o’zgarish koeffitsientlari bilan berilgan bo’lsin:
k_x=0,92, k_y=0,47, k_z=0,96;