Dərslik kimi təsdiq edilmişdir. Baki 2012 2 uot 006

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

273 

 

VII FƏSİL. RİYAZİ STATİSTİKANIN BƏZİ 

QANUNLARININ Ö

LÇMƏ PROSESLƏRİNDƏ TƏTBİQİ 

 

7.1. Ö

lçmə proseslərində istifadə olunan əsas 

qanunlar

 

 

Ö

lçmə  proseslərinin  dəqiqlik  analizini  aparmaq  üçün  riyazi 

statistikanın  bəzi  qanunlarından  geniş  istifadə  edilir.  Bunlardan  ən 

çox  tətbiq  olunanları  Normal paylanma (Qaus qanunu), Bərabər 

ehtimal,  Simpson,  Maksvel,  Normalaşdırılmış  normal,  Veybulla 

qanunları,  Paylanma    qanunlarının  bəzi  tərtibləri,  çox  faktorlu 

planlaşdırma metodlarıdır.   

Normal  paylanma  qanunu  (Qaus    qanunu). 

Təsadüfi  para-

metr

lərin emal dəqiqliyinə təsirini öyrənərkən nəzərdə tutulur ki, də-

qiq

liyə biri-birindən asılı olmayan çoxlu sayda faktorlar təsir edir. 

Obyektlərin orta hesabi qiyməti aşağıdakı düsturla təyin edilir: 

 

∑

=

=

+

+

+

+

=

n

i

i

n

or

l

n

n

l

l

l

l

l

1

3

2

1

1



.        (7.1) 

 

Burada  l

i

 

- 

ayrı-ayrı  obyektlərin  ölçüləri,  n  -  ölçülən 

obyektlərin sayıdır. 

Orta kvadratik sapma 

σ 

aşağıdakı ifadədən təyin edilir: 

 

σ

=

+

+

+ +

=

=

∑

x

x

x

x

n

x

n

n

i

i

n

1

2

2

2

3

2

2

2

1



,     (7.2) 

 

x

i

 = l

i

 – l

or.

 

σ

 

- 

əyrilərin formasını xarakterizə edən göstəricidir. 

Şəkil 7.1. Normal paylanma əyrisi (Qaus əyrisi) 

 

274 

 

σ

π

σ

2

2

1

max

x

e

y

−

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obyektlərin ən böyük və ən kiçik həqiqi ölçülərinin fərqi səpə-

lənmə sahəsi adlanır 

 

 

∆

s

 = l

max

 - l

min

 

 

 

Normal 

səpələnmə əyrisi (Qaus əyrisi) aşağıdakı şəkildəki ki-

midir (

şəkil 7.1). 

Qaus 

əyrisi aşağıdakı ifadə ilə yazılır: 

 

 

.                         

 

Burada e - natural loqarifma

nın əsasıdır 

 

 

y

A

B

y

m

a

x

x

−σ

+σ

+3σ

−3σ

L

оr

(7.3) 

 

275 

 

y

max

,

=

≈

1

2

0 4

σ

π

σ

 . 

 

Qaus 

əyrisi A və B nöqtələrində əyilməyə malikdir 

 

y

y

e

y

e

y

A

B

=

=

=

≈

=

1

2

0 6

0 24

σ π

σ

max

max

,

,

.      (7.4) 

 

Qaus 

əyrisi ilə əhatə olunmuş sahə aşağıdakı inteqraldan təyin 

edilir: 

 

ydx

e

dx

e

dx

x

x

−∞

+∞

−

−∞

+∞

−

−∞

+∞

∫

∫

∫

=

=

=

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

σ π

σ π

σ

σ

.    (7.5) 

 

±  3σ  daxilin

də  olan  sahə,ümumi  sahənin  99,73 % -ni  təşkil 

edir. 

Bərabər  ehtimal  qa-

nunu. 

Əgər emal prosesində öl-

çü

lərin  dəyişməsinə  bir  əsas 

faktor 

təsir  edirsə  belə  qa-

nunauy

ğunluğu  bərabər  ehtimal 

qanunu 

ilə  analiz  edirlər.  Bəra-

bər ehtimal qanununu aşağıdakı 

şəkildəki  kimi  göstərirlər  (şəkil 

7.2.). 

Bərabər  ehtimal  qanunu 

aşağıdakı ifadə ilə yazılır: 

 

  

σ

3

2

=

∆

.            (7.6) 

 

 

Burada 

σ - adi üsulla he-

sablanan  orta  kvadratik  sapma-

dır. 

 

 

Şəkil 7.2. Ölçülərin bərabr ehtimal 

qanununa görə paylanması 

 

m,

m

n

L

l

276 

 

Simpson qanunu. Bu qanunun 

əsas xüsusiyyəti ondan ibarət-

dir ki, 

əsas səbəb prosesin birinci hissəsində yavaşıdıcı, ikinci hissə-

sin

də sürətləndirici xarakterə  malik (şəkil 7.3) olur. Bu qanunu aşa-

ğıdakı kimi ifadə edirlər: 

 

∆ = 2 6

σ

 .                                (7.7) 

 

Maksvel  qanunu. Maksvel qanunu 

ilə səthlərin qarşılıqlı yer-

ləşməsinin qeyri dəqiqliyini, səthlərin forma xətalarını və s. ifadə et-

mək  olar.Burada  xətalar  yalnız  müsbət  qiymətlərə  malik  olurlar. 

Maksvel 

əyrisi qeyri simmetrik formaya malikdir. (şəkil 7.4.) Maks-

vel qanunu 

aşağıdakı kimi yazılır: 

 

             

σ

44

3,

=

∆

.                                      (7.8) 

 

 

m,

m

n

L

y

R

 

Şəkil 7.3. Ölçülərin Simpson 

qanununa gö

rə paylanması. 

Şəkil 7.4. Ölçülərin Maksvel 

qanununa gö

rə paylanması. 

 

Norma

laşdırılmış  normal  qanunu  simmetriklik  xüsusiyyə-

tinə görə Qaus əyrisinə yaxındır (şəkil 7.5.) və aşağıdakı ifadə ilə ya-

zılır: 

 

         

2

2

2

1

x

e

)

x

(

P

−

=

π

.                             (7.9) 

         Reley qanunu qeyri simmetrik 

əyri ilə xarakterizə olunur (şəkil 

7.6.) 

və aşağıdakı düsturla ifadə olunur: 

277 

 

2

2

2

2

σ

σ

x

e

y

)

y

(

P

−

=

.                             (7.1) 

x

O

P( x)

y

O

P( y)

 

Şəkil 7.5. Normallaşdırılmış normal  

qanununun qrafiki gös

tərilməsi 

Şəkil 7.6. Reley qanununun 

qrafiki gös

tərilməsi 

 

 

Veybulla  qanunu.  Ma

şın  və  mexanizmlərin,  cihazların, 

qurğuların  etibarlılığı  və  uzunömürlülüyü  məsələlərinin  analizində 

Veybulla  qanunundan  ge

niş istifadə edilir. Veybulla qanunu qrafiki 

olaraq 

şəkil 7.7.-də verilmişdir və aşağıdakı düsturla yazılır: 

 

P x

x

e

x

( )

=

−

−

α β

α

β

1

2

.                           (7.11) 

 

Təcrübədə  yuxarıda  göstərilən 

paylanma  qanunla

rının  birləşmələrini 

xarakte

rizə edən əyrilərə tez-tez rast gə-

linir.  Mü

rəkkəb  texnoloji  proseslərin 

analizin

də çox halda bu birləşmələr tət-

biq  edilir.  Bundan 

başqa  texnoloji pro-

ses

lər  haqqında  kifayət  qədər  məlumat 

olma

dıqda və  təcrü 

bələrin  sayını  azaltmaq  məq-

sədi  ilə  çox  faktorlu  planlaşdırma-

dan da ge

niş   istifadə     edilir. 

  

Şəkil 7.7. Veybulla qanununun 

qrafiki göstərilməsi 

278 

 

 

Paylanma  qanunla

rının  bəzi  tərtibləri.  Təcrübədə  yuxarıda 

gös

tərilən  paylanma  qanunlarının  bəzi  birləşmələrini  xarakterizə 

edən əyrilərə tez-tez rast   gəlinir. Məsələn: bəzən üstələyici faktorla 

bərabər, eyni zamanda çoxlu sayda biri-birindən asılı olmayan təsa-

düfi faktorla

rın təsirindən ölçülərin səpələnməsini xarakterizə edən A 

əyrisi   alınır (şəkil 7.8.). Obyektlərin ölçülərinin daimi qanunauyğun    

dəyişən faktorun təsirindən dəyişməsi ab xətti ilə xarakterizə edilir. 

Təsadüfi faktorların təsirindən səpələnmə sahəsi ∆

1

  = 6

σ. Ölçülərin 

nəticə səpələnməsi ∆

2

 = 

∆

1

 + l-dir. 

Belə əyrinin alınmasına  emal dəqiqliyinə alətin yeyilməsi  nəticə-

sin

də ölçüsünün dəyişməsini misal göstərmək olar. 

Hər  hansı  i  obyektlin faktiki  ölçüsünün  yaranması  sxemi  şəkil 

7.9.-da veril

mişdir. Verilmiş momentdə nominal ölçüdən   sapmanın qiy-

məti ∆i, bütün faktorların tə'sirindən yaranan sapmaların cəbri və ya vek-

tor 

cəmindən alınır. 

 

 

Şəkil 7.8. Təsadüfi faktorların cəminin və bir üstələyici faktorun de-

talla

rın ölçülərinin səpələnməsinə təsiri 

∆

1

 - ölçü

lərin təsadüfi faktorların təsirindən səpələnməsi; i - ölçülərin 

üs

tələyici faktorun təsirindən səpələnməsi; ∆

2

  - ölçü

lərin ümumi tə-

sir 

nəticəsində səpələnməsi 

279 

 

 

 

Tutaq  ki,  nominal  ölçü

dən "mənfi" tərəfə istiqamətlənmiş dai-

mi sistematik 

∆

n

 

xətası mövcuddur. Göstərilən xətanın aşağı sərhəd-

din

dən müsbət tərəfə, sistematik qanunauyğun dəyişən faktorun ya-

rat

dığı ∆

qan  

xətası    istiqamətlənmişdir (onun dəyişməsi ab xətti ilə 

xarakte

rizə olunur).  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şəkil 7.9. Partiyadakı

 i 

detalın ölçüsünün yaranması sxemi 

 

Tutaq ki, o 

tərəfə təsadüfi faktorların cəminin təsirindən  yaran-

mış ∆

x

 sap

ması istiqamətlənmişdir. Onda ölçü L

i

= L

nom

 + 

∆

i

  

və ya-

xud 

 

L

i

 = Lnom +(

∆

qan

-

∆

n

+

∆

x

).               (7.12) 

 

Misal 7.1. Detalla

rın  çıxdaşlıq  ehtimalı  faizinin  təyin  edil-

məsi  üçün ölçülərin paylanma qanunlarının tətbiqi. Şəkil 7.10.-

da detalla

rın emalı zamanı səpələnmə sahəsinin müsaidə  sahəsindən 

ar

tıq olma halı verilmişdir, yə'ni 6σ >δ . Bu halda detalların çıxdaş-

280 

 

sız olmağı qeyri mümkündür. Burada birinci halda sazlama elə apa-

rılmışdır ki, paylanma   əyrisinin qruplaşma mərkəzi müsaidə sahəsi-

nin orta

sının     üzərinə salınmış, ikinci halda isə ∆

n

 qiy

məti qədər sü-

rüşdürülmüşdür. Ümumi sahənin, ştrixlənmiş hissəsi yararlı, ştrixlən-

məmiş     hissəsi isə çıxdaş   olunmuş detalları müəyyən edir. Yararlı 

detalla

rın  alınması  ehtimalı,  ştrixlənmiş  sahənin,  normal  paylanma 

qanunu 

əyrisi ilə əhatə olunmuş ümumi sahəyə nisbəti ilə müəyyən-

ləşdirilir. Verilmiş interval üçün 

x

 sa

həsi aşağıdakı   inteqralla tapı-

lır: 

 

F

e

dx

x

x

=

−

∫

1

2

2

2

2

0

σ

π

σ

.                          (7.13) 

 

 

Şəkil 7.10 Səpələnmə sahəsinin müsaidə sahəsinə nəzərən simmetrik 

(a) 

və qeyri simmetrik (b) yerləşməsi zamanı çıxdaşın olması ehtima-

lının hesablanması sxemi 

 

Əgər 

z

x

=

σ

 

qəbul  etsək  və  onu  differensiallaşdırsaq,  alarıq 

dx = 

σdz. 

z   

və  dx-in  qiymətlərini  (7.14)-ə  qoysaq,  ehtimal  qanununun 

məlum olan funksiyanı alarıq 

281 

 

∫

−

=

z

z

dz

e

z

F

0

2

2

2

1

)

(

π

.                    (7.14) 

 

Səpələnmə  sahəsinin  müsaidə  sahəsinə  nəzərən simmetrik  yer-

ləşməsi üçün AB hissəsi daxilində ştrixlənmiş sahə 2F(z)-ə bərabərdir. 

Bütün 

sahə vahidə bərəbər olduğundan çıxdaş faizi aşağıdakı düsturla 

təyin edilir 

P = [1- 2F(z)] .100%. 

 

              (7.15) 

 

Ölçü

lərin səpələnmə sahələrinin qeyri simmetrik yerləşməsi za-

manı hesabat analoji olaraq aparılır, fərq yalnız F

1

 

və F

2

 sa

hələrinin 

ayrı-ayrı müəyyən edilməsindədir. 

Xarici emalda A  nöq

təsindən solda yerləşmiş ölçülər düzəldil-

məsi mümkün olmayan, B nöqtəsindən sağa yerləşmiş ölçülər isə dü-

zəldilməsi mümkün olan çıxdaş olacaqdır. Əhatə edən səthlərin ema-

lında çıxdaş əks qaydada göstərilir. 

Detalla

rın bütün yoxlanılan ölçüləri x =± 3σ intervalına yəni, z 

=

± 3σ-ə daxil olur. 

 

7.2. 

Xətaların təyin edilməsinin çoxfaktorlu 

plan

laşdırma metodu

 

 

Elmi 

tədqiqat layihə konstruktor işlərinin yerinə yetirilməsində, 

texnoloji  proses

lərin  analizində,  dəqiqlik,  keyfiyyət  göstəricilərinin 

qiy

mətləndirilməsində  və  ölçmədə  çoxfaktorlu  planlaşdırmadan  ge-

niş istifadə edilir. 

Mü

rəkkəb  texnoloji  proseslərin  analizində  həmin  proseslər 

haq

qında  kifayət  qədər  məlumat  olmayan  hallarda  eksperimentlərin 

çoxfaktorlu  plan

laşdırılması özünü doğluldur. Eksperimentlərin apa-

rılmasının passiv və aktiv üsullarındanistifadə edilir. 

Passiv eksperiment 

ənənəvi metoddur. Bu metodda parametr-

lər  növbə  ilə  dəyişilir  və  böyük  seriyalarla  təcrübələr  aparılır.  İş 

282 

 

şəraitində  statistik  materialların  yığılması  da  passiv  eksperimentdir. 

Bu  üsulda 

təcrübi  materialların  emalı  nəticəsində  riyazi  modellərin 

alınması, klassik reqressiv və korelyasion  metodların analizi vasitə-

silə yerinə yetirilir. 

Aktiv eksperiment 

əvvəlcədən tərtib edilmiş plan əsasında qo-

yulur.  Bu  metodda  pro

sesə təsir edən bütün faktorların eyni vaxtda 

dəyişilməsi nəzərdə tutulur. Burada faktorların qarşılıqlı təsiri dərhal 

müəyyənləşir  və  buna  görə  də  təcrübələrin  ümumi  sayını  azaltmaq 

mümkün olur. 

Bu metodda eksperimentin 

nəticəsi ilə dəyişən parametrlər ara-

sında  bir  başa  əlaqə  yaranır.  Bu  əlaqəni  aşağıdakı  şəkildə  yazmaq 

olar: 

 

)

,...,

,

(

2

1

R

x

x

x

y

y

=

.        

       (7.16) 

 

x

1

, x

2

  , ..... x

R

 

sərbəst  dəyişən  parametrləri  faktorlar  adlandır-

maq 

qəbul edilmişdir. Statistik metodlardan istifadə edərək polinom 

şəklində  olan  riyazi  modellər  almaq  olar.  Burada  məlum  olmayan 

asılıqlar aşağıdakı şəkildə yazılır. 

 



+

+

+

+

=

∑

∑

∑

=

≠

=

=

R

j

j

jj

R

u

j

u

j

u

uj

R

j

j

j

x

x

x

x

y

1

2

1

1

,

1

0

β

β

β

β

      

(7.17) 

 

Burada 

 

0

2

2

0

2

0

0

;

;

=

=

=

=

=

=

x

j

jj

x

j

u

uR

x

j

x

x

x

x







∂

ϕ

∂

β

∂

∂

ϕ

∂

β

∂

∂ϕ

β

. 

 

Real proses

lərdə həmişə idarə olunmayan və nəzarət edilməyən 

parametr

lər olduğundan kəmiyyətin dəyişməsi təsadüfi xarakter daşı-

yır. Buna görə də eksperimentin nəticələrini emal edərkən reqresiya-

283 

 

nın seçmə əmsalları b

0

, b

i

, b

uj

, b

jj

 -ni    

alırıq. Bu əmsallar nəzəri b

0

, 

b

j

, b

uj

, b

jj

 

əmsallarının qiymətidir. Təcrübə nəticəsində alınan  reqre-

siya 

tənliyini aşağıdakı şəkildə yaza   bilərik: 

 



+

+

+

+

=

∑

∑

∑

=

=

=

R

j

j

jj

R

j

u

j

u

uj

R

j

j

j

x

b

x

x

b

x

b

b

y

1

2

1

,

1

0

ˆ

   

(7.18) 

 

b

0

 - reqresiya 

tənliyinin sərbəst həddidir; 

b

j

 - 

nı xətti effekt əmsalları, b

jj

 - ni kvadratik effekt 

əmsalları; 

b

uj

 - ni qar

şılıqlı təsir əmsalları adlandırırlar. 

(7.18) 

tənliyinin əmsallarını ən az kiçik kvadratlar metodu va-

si

təsi ilə 

 

(

)

min

1

2

=

−

=

∑

=

N

i

i

i

y

y

F

                              (7.19) 

 

şərti daxilində tapılır. 

Burada N - 

tədqiq edilən parametrlərin qiymətlərinin      cəmin-

dən götürülmüş seçilmə miqdarıdır. 

Seçil

mə miqdarı N ilə əlaqələr sayı l - in fərqi sərbəstlik      də-

rəcəsinin sayı adlanır. 

 

            f = N – l.

 

 

                                 (7.20) 

 

Reqresiya 

tənliyini axtararkən əlaqələrin sayı, müəyyənləşdiri-

lən əmsalların sayına bərabərdir. 

Reqressiya 

tənliyinin  növü  eksperimental  seçim  nəticəsində 

müəyyənləşdirilir.  Təsadüfi  kəmiyyətlərin  normalaşdırılmasını  hə-

yata keçi

rərək natural miqyasdan yenisinə keçid aşağıdakı düsturlarla 

apa

rılır: 

 

284 

 

 

R

j

N

i

s

x

x

x

s

y

y

y

j

x

j

ji

ji

y

i

j

...,

2

,

1

,

...,

2

,

1

0

0

=

=

−

=

−

=

.            (7.21) 

 

y

x

i

ji

0

0

,

- uy

ğun faktorların normalaşdırılmış qiymətləri; 

 

y x

,   -faktorla

rın  orta  qiymətləri; 

s s

y

x

j

,

-faktorla

rın  orta  kvadratik 

sapma

sıdır. 

 

(

)

(

)

s

y

y

N

s

x

x

N

y

i

i

N

xj

ji

j

i

N

=

−

−

=

−

−

=

=

∑

∑

2

1

2

1

1

1

. 

 

Faktorla

rın natural qiymətlərindən kodlanmış qiymətlərinə ke-

çid 

aşağıdakı düsturla yerinə yetirilir; 

 

R

j

z

z

z

x

j

j

j

j

,...,

2

,

1

,

0

=

∆

−

=

.                (7.22) 

 

x

j

  - j - faktorun kodlan

mış qiyməti; 

z

j

  - faktorun natural qiy

məti; 

z

j

0

 - baza 

səviyyəsi; 

∆z

j

 - 

dəyişmə addımıdır. 

b

0

 - 

əmsalı aşağıdakı ifadədən tapılır: 

 

b

y

b x

0

1

= −

 .                         (7.23) 

 

y

 

və  x - y

 

və x-in orta qiymətləridir. 

b

0 

- la b

1

 ara

sında korrelyasiya asılılığı mövcuddur. 

b

1

  - 

əmsalını  təyin  etmək  üçün  aşağıdakı  düsturdan  istifadə    

285 

 

edilir: 

 

             

b

N

x y

j

ji

j

i

N

=

=

∑

1

1

.                     (7.24) 

 

Paralel 

təcrübələrin nəticələrinin orta qiymətlərini 

 

y

y

m

i

N

j

iu

u

m

=

=

=

∑

1

1 2

,

, ,...,

 .            (7.25) 

 

 

ifa

dəsi ilə tapırıq. 

m - 

hər bir təcrübənin təkrar edilməsi sayıdır. 

Seç

mə dispersiya aşağıdakı düsturla tapılır 

 

(

)

s

y

y

m

i

N

i

iu

i

u

m

2

2

1

1

1 2

=

−

−

=

=

∑

,

, ,...,

.           (7.26) 

 

Dispersiyala

rın cəmi 

s

i

i

N

2

1

=

∑

- dir. 

G

s

s

i

i

N

max

max

=

=

∑

2

2

1

 nis

bətindən Koxren meyarının müqayisə üçün la-

zım  olan  hesabi  qiyməti  təyin  edilir. 

s

max

2

-  seç

mə  dispersiyanın 

maksimum qiy

mətidir. Əgər dispersiya eyni   cinslidirsə, onda 

 

   

G

max

 

≤  G

h

 (N, m-1)                        (7.27) 

 

286 

 

Burada G

h

(N,m-1) Koxren meya

rının cədvəl qiymətidir. 

Əgər  seçilmə  dispersiya  eynicinslidirsə,  onda  yenidən  törəmə 

dispersi

yası hesablanır 

 

                     

s

s

N

i

i

N

òþð

2

2

1

=

=

∑

.                           (7.28) 

Əmsalların əhəmiyyətinin qiymətləndirilməsi Styudent meyarı 

ilə yoxlanılır 

 

                           t

b

s

j

j

bj

=

.                                           (7.29) 

 

burada b

j

 reqressiya 

tənliyinin j - cı əmsalı; 

s

bj

 - j - 

cı əmsalın orta kvadratik sapmasıdır. 

Əgər t

j

 

cədvəl qiymətindən böyükdürsə, onda b

j

 

əmsalı sıfırdan 

əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. 

Tənliyin tam uyğunluğu Fişer meyarı ilə yoxlanılır 

 

2

2

s

s

F

qal

=

.                                 (7.30) 

 

Burada 

𝑠

𝑡ö𝑟

2

  yeni

dən törəmə dispersiyası; S

qal

  - qa

lıq dispersi-

ya

sıdır. 

F - in qiy

məti onun cədvəl qiymətindən nə qədər çoxdursa req-

ressiya 

tənliyinin effektivliyi bir o qədər yüksək olur. 

tör 

tör 

287